bzoj1019 [SHOI2008]汉诺塔

1019: [SHOI2008]汉诺塔

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Description

汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。

对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

Input

输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

Output

只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。

Sample Input

3
AB BC CA BA CB AC

Sample Output

7

HINT

 

Source

题意：按一定规则行动，问如此行动，多少步后会将第一柱上的盘子全部移动到另一柱上

分析：

一、我们可以Dp

Dp[i][x]表示前 i 个盘子一开始放在 第x柱上，用了多少步可以移动到另一柱上

P[i][x]表示前 i 个盘子一开始放在 第x柱上，按题目所给策略移动，用了Dp[i][x]步后移动到了 P[i][x] 根柱上

那么转移很明显可以从i转移到i+1

用y表示p[i][x]，z表示第 i+1个盘子将要去的柱子

那么因为前 i 个盘子移到了 y，盘子又不能连续移动，大盘不能压着小盘， 所以第 z个柱子一定是空的，且只能移动第 i+1个盘子

所以这时 z = 1+2+3-x-y

移动过去后，那就要将那前i个盘子移到第i+1个盘子上面

又因为根据策略移动，所以一定数量的盘子从某根柱子上开始移动，无论第 i+1个盘子在哪，情况一定相同，所以

当 p[i][y] == z时，那么就放在上面就好，p[i+1][x] = z,Dp[i+1][x] = Dp[i][x]+1+Dp[i][y]

当 p[i][y] == x时，那么因为从x上会移到y上，又因为不能连续移动，不能压着小盘，所以下一步一定是第i+1个盘子从z移动到y，然后在将前 i 个盘子压到 第y根柱子上，所以p[i+1][x] = y,Dp[i+1][x] = Dp[i][x]+1+Dp[i][y]+1+Dp[i][x]

二、根据陈丽洁大神的找规律，用Dp[i]表示n = i 时的答案

有这样的性质

Dp[i+1] = a*Dp[i]+b

a，b根据策略的不同决定

暴力算出前三个答案，待定系数法求出a,b

。。。至于证明，不会。。。

不过根据Dp的结果，的确是有这个性质

综上所述，本题得解

只提供第一种解法

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <cmath>
 #include <deque>
 #include <vector>
 #include <queue>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #include <map>
 #include <set>
 #include <ctime>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 #define For(i, s, t) for(int i = (s); i <= (t); i++)
 #define Ford(i, s, t) for(int i = (s); i >= (t); i--)
 #define Rep(i, t) for(int i = (0); i < (t); i++)
 #define Repn(i, t) for(int i = ((t)-1); i >= (0); i--)
 #define MIT (2147483647)
 #define INF (1000000001)
 #define MLL (1000000000000000001LL)
 #define sz(x) ((bnt) (x).size())
 #define clr(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
 #define puf push_front
 #define pub push_back
 #define pof pop_front
 #define pob pop_back
 #define ft first
 #define sd second
 #define mk make_pair
 inline void SetIO(string Name) {
     string Input = Name+".in",
     Output = Name+".out";
     freopen(Input.c_str(), "r", stdin),
     freopen(Output.c_str(), "w", stdout);
 }

 const int N = ;
 LL Dp[N][], P[N][];
 int n, Go[];

 inline void Input() {
     scanf("%d", &n);
     string S;
     For(i, , ) {
         cin>>S;
         int a = S[]-'A'+, b = S[]-'A'+;
         if(!Go[a]) Go[a] = b;
     }
 }

 inline void Solve() {
     For(i, , ) Dp[][i] = , P[][i] = Go[i];
     For(i, , n)
         For(x, , ) {
             int y = P[i-][x];
             int z = ++-x-y;
             Dp[i][x] = Dp[i-][x]++Dp[i-][y];
             if(P[i-][y] == z) P[i][x] = z;
             else Dp[i][x] += +Dp[i-][x], P[i][x] = y;
         }
     cout<<Dp[n][]<<endl;
 }

 int main() {
     SetIO("");
     Input();
     Solve();
     return ;
 }