漫步数学分析番外四

定理1 令 f:A→Rm 是一个映射，其中 A⊂Rn 是任意集合，那么下面的断言是等价的。

1. f 在 A 上连续
2. 对于 A 中的每个收敛序列 xk→x0 ，我们有 f(xk)→f(x0)
3. 对于 Rm 中的每个开集 U ， f−1(U)⊂A 对 A 而言是相对开的；即，对某个开集 V,f−1(U)=V∩A
4. 对于每个闭集 F⊂Rm,f−1(F)⊂A 对 A 而言是相对闭的；即，对某个闭集 G,f−1(F)=G∩A

证明： 证明的模式为 (i)⇒(ii)⇒(iv)⇒(iii)⇒(i) 。

(i)⇒(ii) 的证明：假设 xk→x0 ，为了说明 f(xk)→f(x0) ，令 ε>0 ；我们必须找到一个整数 N 使得 k≥N 时 d(f(xk),f(x0))<ε 。为此，选择 δ>0 使得 d(x,x0)<δ 意味着 d(f(x),f(x0))<ε 。 δ 的存在性由 f 的连续性得以抱枕，那么选择 N 使得 k≥N 意味着 d(xk,x0)<δ ， N 的选择就得到要求的结论。

(ii)⇒(iv) 的证明：令 F⊂Rm 是闭的，为了说明 f−1(F) 在 A 中是闭的，我们利用下面的事实：集合 B 相对于 A 是闭的，当且仅当对于每个收敛到 x∈A 的序列 xk∈B ， x∈B 。令 xk∈f−1(F),xk→x ，其中 x∈A 。我们必须说明 x∈f−1(F) 。 接下来，由 (ii) ， f(xk)→f(x) ，并且因为 f(xk)∈F,F 是闭集，我们可得 f(x)∈F ，因此 x∈f−1(F) 。

(iv)⇒(iii) 的证明：如果 U 是开集，令 F=Rm∖U (这是个闭集)，那么由 (iv) ，对某个闭集 G ， f−1(F)=G∩A ，故 f−1(U)=A∩(Rn∖G) ，所以 f−1(U) 相对于 A 是开的。

(iii)⇒(i) 的证明：给定 x0∈A,ε>0 ，我们必须找出 δ 使得 d(x,x0)<δ 意味着 d(f(x),f(x0))<ε 。 因为 D(f(x0),ε) 是一个开集，根据 (iii) 可知 f−1(D(f(x0),ε)) 是开集，那么根据开集的定义以及 x0∈f−1(D(f(x0),ε)) ，存在 δ>0 使得 D(x0,δ)∩A⊂f−1(D(f(x0)),ε) 。用另一种方式说就是 (x∈A,d(x,x0)<δ)⇒(d(f(x),f(x0))<ε) 。 ||

定理2 令 f:A→Rm 是一个连续映射，那么

1. 如果 K⊂A 并且 K 是连集，那么 f(K) 是连集。
2. 如果 B⊂A 并且 B 是紧集，那么 f(B) 是紧集。

证明： (i) 假设 f(K) 不是连集，那么根据定义，我们可以写成 f(K)⊂U∪V ，其中 U∩V∩f(K)=∅,U∩f(K)≠∅,V∩f(K)≠∅,U,V 是开集。那么存在某个开集 U′ 使得 f−1(U)=U′∩A ，同样地，存在某个开集 V′ 使得 f−1(V)=V′∩A 。 根据 U,V 满足的条件，我们可以看出 U′∩V′∩K=∅,K⊂U′∪V′,U′∩K≠∅,V′∩K≠∅ ，所以 K 不是连集，证毕。

(ii) 令 yk 是 f(B) 中的序列，我们需要说明 yk 有一个收敛到 f(B) 中某个点的子序列。对 xk∈B ，令 yk=f(xk) 。因为 B 是紧集，所以有一个收敛子序列，假设为 xkn→x,x∈B 。然后根据定理1 (ii) ， f(xkn)→f(x) ，所以 f(xkn) 是 yk 的一个收敛子序列。 ||

定理2 (i) 中的路径连续部分与上面类似。在 (ii) 的证明中，我们利用了紧集作为集合的一个特征，也就是每个序列有一个收敛的子序列。实际上也可以使用紧集的海涅-博雷尔准则，注意一般而言，闭集的连续像不一定是闭的，所以在证明 f(B) 既是闭又是有界的时候， B 的紧性是至关重要的。

定理3 假设 f:A→Rm,g:B→Rp 是连续函数，其中 f(A)⊂B ，那么 g∘f:A→Rp 是连续的。

证明： 令 U⊂Rp 是开集，那么 (g∘f)−1(U)=f−1(g−1(U)) 。接下来对于某个开集 U′,g−1(U)=U′∩B 并且 f−1(U′∩B)=f−1(U′) ，因为 f(A)⊂B 。因为 f 是连续的，所以对于开集 U′′,f−1(U′)=U′′ ，因此根据定理1可知， g∘f 是连续的。 ||

定理1的其他条件也可以用来证明定理3。接下来我们不证明定理4，而是证明其推论。

推论 令 A⊂Rn

1. 令 f:A→Rm,g:A→Rm 在 x0 处连续；那么定义为 (f+g)(x)=f(x)+g(x) 的和 f+g:A→Rm 是连续的。
2. 令 f:A→R,g:A→R 在 x0 处连续；那么定义为 (f⋅g)(x)=f(x)g(x) (标量 f(x) 与向量 g(x) 相乘)的乘积是连续的。
3. 令 f:A→R,g:A→Rm 是连续的，其中 A⊂Rn ，如果对于所有的 x∈A,f≠0 ，那么商 g/f 在 A 上是连续的。

证明： 令 x0∈A ，并假设 ε>0 已经给定。选择 δ1>0 使得 d(x,x0)<δ1 意味着 d(f(x),f(x0))<ε/2 ， δ2>0 使得 d(x,x0)<δ2 意味着 d(g(x),g(x0))<ε/2 ，那么令 δ 是 δ1,δ2 中最小的一个。因此，如果 d(x,x0)<δ ，根据三角不等式可知

∥(f+g)(x)−(f+g)(x0)∥=∥f(x)−f(x0)+g(x)−g(x0)∥≤∥f(x)−f(x0)∥+∥g(x)−g(x0)∥≤ε2+ε2=ε

(ii) 令 x0∈A ，假设 ε>0 ，选择 δ1 使得 d(x,x0)<δ1 意味着 |f(x)−f(x0)|<ε/2∥g(x0)∥ 并且 |f(x)|≤|f(x0)|+1 。另外选择 δ2 使得 d(x,x0)<δ2 意味着 ∥g(x)−g(x0)∥<ε/2∥(|f(x0)|+1) ，那么对于 δ=min{δ1,δ2},d(x,x0)<δ 意味着(利用三角不等式)

∥fg(x)−fg(x0)∥=∥f(x)g(x)−f(x)g(x0)+f(x)g(x0)−f(x0)g(x0)∥≤|f(x)|∥g(x)−g(x0)∥+|f(x)−f(x0)|∥g(x0)∥

(利用事实：对于 x∈Rn,α∈R,∥αx∥=|α∥x∥| )。继续上面的估计可得

∥fg(x)−fg(x0)∥<(|f(x0)|+1)ε/2(|f(x0)|+1)+∥g(x0)∥ε/2∥g(x0)∥=ε2+ε2=ε

(iii) 根据 (ii) 的证明，我们考虑 1/f 的情况，此时 g/f=g⋅(1/f) 。

为了说明 1/f 是连续的，给定 x0∈A ，选择 δ1 使得对 ∥x−x0∥<δ1,|f(x)−f(x0)|≤(|f(x0)|/2) 。根据 f 的连续性可知这是可能的。所以 |f(x)|≥(|f(x0)|/2) 。接下来，给定 ε>0 ，选择 δ2 使得 ∥x−x0∥<δ2 意味着

|f(x)−f(x0)|<ε|f(x0)|2/2

接下来，给定 ε>0 ，选择 δ2 使得 ∥x−x0∥<δ2 意味着

|f(x)−f(x0)|<ε|f(x0)|2/2

那么如果 δ=min(δ1,δ2),∥x−x0∥ 意味着

∣∣∣1f(x)−1f(x0)∣∣∣=∣∣∣f(x0)−f(x)f(x0)f(x)∣∣∣≤|f(x)−f(x0)||f(x0)|2/2<ε

这就说明 1/f(x) 在 x0 处是连续的，因此它在 A 上是连续的。 ||

定理5 令 A⊂Rn,f:A→R 是连续函数，令 K⊂A 是紧集，那么 f 在 K 上是有界的，即 B={f(x)|x∈K}⊂R 是有界集。进一步，存在点 x0,x1∈K 使得 f(x0)=inf(B),f(x1)=sup(B) ，我们称 sup(B) 是 f 在 K 上的最大值， inf(B) 是 f 在 K 上的最小值。

证明： 首先， B 有上界，因为根据定理2可知 B=f(K) 是紧集，所以根据紧集的定义可知它是闭且有界的。其次，我们想要产生一个 x1 使得 x1∈K,f(x1)=sup(B) 。接下来，因为 B 是闭的， sup(B)∈B=f(K) ，所以存在 x1∈K 使得 sup(B)=f(x1) 。

inf(B) 的情况类似。 ||

注意：我们可以将上面的 sup 情况应用到 −f 上得出 inf(B) 的情况，这时候 −f 的最大值就是 f 的最小值。

定理6 令 A⊂Rn,f:A→R 是连续的，假设 K⊂A 是连集并且 x,y∈K 。对于每个数 c∈R 满足 f(x)≤c≤f(y) ，存在一个点 z∈K 使得 f(z)=c 。

证明： 假设没有这样的 z 存在，那么令 U=(−∞,c)={t∈R|t<c} 并且令 V=(c,∞) 。很明显， U,V 都是开集。因为 f 是连续的，所以对开集 U0 ，我们有 f−1(U)=U0∩K ，同样地， f−1(V)=V0∩K 。根据 U,V 的定义，我们有 U0∩V0∩K=∅ 并且根据假设 {z∈K|f(z)=c}=∅ ，我们有 U0∪V0⊃K 。 另外，， U0∪K≠∅ ，因为 x∈U ; V0∩K≠∅ ，因为 y∈V0 。因此， K 不是连集，得出矛盾。 ||

定理7 令 f:A→Rm 是连续的且 K⊂A 是一个紧集，那么 f 在 K 上是一致连续的。

证明： 给定 ε>0 ，对于每个 x∈K ，选择 δx 使得 d(x,y)<δx 意味着 d(f(x),f(y))<ε/2 ，集合 D(x,δx/2) 覆盖 K 且是开集，那么，有一个有限覆盖， D(x1,δx1/2),…,D(xN,δxN/2) ，令 δ=min{δx1/2,…,δxN/2} ，那么如果 d(x,y)<δ ，就存在 xl 使得 d(x,xl)<δxl/2 (因为邻域覆盖 K )，因此 d(xl,y)≤d(x,xl)+d(x,y)<δxl ，所以根据选择的 δxl,d(f(x),f(y))≤d(f(x),f(xl))+d(f(xl),f(y))<ε/2+ε/2=ε 。 ||

例1： 令 f:A→Rm 为

f(x)=(f1(x),…,fm(x))

那么说明 f 是连续的当且仅当每个元素 fi 是连续的， i=1,…,m 。

解： 令 f 是连续的。如果 A 中 xk→x ，我们必须说明对于每个 i,fi(xk)→fi(x) 。但是根据事实 f(xk)→f(x) 可以立刻得出这个结论。另外 Rm 中的序列(这里是 f(xk) )收敛当且仅当它的元素都收敛。利用同样的利用可以证明相反的情况。

例2： 令 f:A→Rm 是连续的。对于 K⊂A 是连集，说明 {(x,f(x))|x∈K} 是 Rn×Rm=Rn+m 中的连集。当然这个集合就是 f 的图像。

解： 考虑映射 g:K⊂Rn→Rn×Rm ，其定义为 g(x)=(x,f(x)) 。根据前面的例子， g 是连续的。但是 g(K)={(x,f(x))|x∈K} 并且连集的像是连集(定理2)。

例3： 令 f:A→Rm 在 x0∈A 处连续， A 是开集并且 f(x0)≠0 。那么说明 f 在 x0 的某个邻域内非零。

解： 给定 ε>0 ，存在一个 x0 的邻域 U 使得对所有 x∈U 满足 ∥f(x)−f(x0)∥<ε (连续的定义)。为了得到结论，我们选择 ε=∥f(x0)∥ ，那么 ∥f(x)−f(x0)∥<∥f(x0)∥ 意味着 f(x)≠0 ，因为 ∥−f(x0)∥<∥f(x0)∥ 不可能为真(实际他们是相等的)。因此，在 ε=∥f(x0)∥ 确定的邻域 U 上， f 是非零的。

例4： 说明线性映射 L:Rn→Rm 是线性的。

解： 我们将说明对于给定的线性映射 L:Rn→Rm ，我们可以找到一个数 M 使得对所有的 x∈Rn,∥L(x)∥≤M ，那么 ∥x−x0∥<ε/M 意味着 ∥L(x)−L(x0)∥=∥L(x−x0)∥≤M∥x−x0∥<ε ，这就证明了 L 是连续的。

令 M=sup{∥L(e1)∥,…,∥L(en)∥} ，其中 e1,…,en 是 Rn 的标准基。那么对于 x=(x1,…,xn) 利用三角不等式可得

∥L(x)∥=∥x1L(e1)+⋯+xnL(en)∥≤|x1|∥L(e1)∥+⋯+|xn|∥L(en)∥≤M1(|x1|+⋯+|xn|)≤M1n∥x∥

因此我们可以取 M=nM1 ，这样就得到我们的结果。