【摘自】：华山大师兄，推荐他的过程动画~
定义
Dijkstra算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）
算法描述
1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
算法步骤
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
实例
对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。
模板
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAX_V = ;
const int inf = 0x3f3f3f3f; typedef pair<int, int> pii;
struct Dijkstra //封装dijkstra算法
{
struct Edge //定义边的结构体
{
int from, to, cost;
Edge() {}
Edge(int a, int b, int c) : from(a), to(b), cost(c) {}
};
int n, m;
vector<Edge> G[MAX_V]; //边集合
bool vis[MAX_V];
int d[MAX_V];
int prev[MAX_V];
void init(int n) //初始化，清空邻接表和边集合
{
this->n = n;
for(int i = ; i <= n; i++)
{
G[i].clear();
}
}
void add(int from, int to, int dist) //建图
{
G[from].push_back(Edge(from,to,dist));
}
void dijkstra(int s)
{
priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> > q;
memset(d, inf, sizeof(d));
memset(prev, -, sizeof(prev));
d[s] = ;
q.push(pii(, s)); while(!q.empty())
{
pii p = q.top(); q.pop();
int v = p.second;
if(d[v] < p.first) continue;
for(int i = ; i < G[v].size(); i++)
{
Edge e = G[v][i];
if(d[e.to] > d[e.from]+e.cost)
{
d[e.to] = d[e.from]+e.cost;
q.push(pii(d[e.to], e.to));
prev[e.to] = e.from;
}
}
}
}
vector<int> Get_Path(int t)
{
vector<int> path;
for(; t != -; t = prev[t])
path.push_back(t);
reverse(path.begin(), path.end());
return path;
}
} D; int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
for(int kase = ; kase <= T; kase++)
{
int V, E;
scanf("%d%d", &V, &E);
D.init(V);
for(int i = ; i < E; i++)
{
int u, v, w;
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
D.add(u, v, w); D.add(v, u, w);
}
int t; scanf("%d", &t);
D.dijkstra(t);
printf("Case %d:\n", kase);
vector<int> path = D.Get_Path(); for(int i = ; i < V; i++)
{
if(D.d[i] >= inf)
printf("Impossible\n");
else
printf("%d\n", D.d[i]);
}
}
return ;
}
封装到class中
STL priority_queue实现：复杂度O（|E|·log|V|）
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAX_V = ;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int d[MAX_V];
int used[MAX_V];
int cost[MAX_V][MAX_V];
int prev[MAX_V];
int V, E; void Dijkstra(int s) //Source is the source,M is the number of point;
{
memset(used, , sizeof(used));
memset(prev, -, sizeof(prev));
memset(d, inf, sizeof(d));
d[s] = ; while(true)
{
int v = -;
for(int u = ; u < V; u++)
{
if(!used[u] && (v == - || d[u] < d[v])) v = u;
}
if(v == -) break;
used[v] = true;
for(int u = ; u < V; u++)
{
int tmp = max(d[u], cost[v][u]);
d[u] = max(d[u], cost[v][u]);
prev[u] = v;
}
}
} vector<int> Get_Path(int t)
{
vector<int> path;
for(; t != -; t = prev[t])
path.push_back(t);
reverse(path.begin(), path.end());
return path;
}
邻接矩阵
邻接矩阵实现：复杂度O（|V|2）