游戏物理数学之《Matrix矩阵》

《目录》

• • 目录
  • 矩阵基础
    • 矩阵的定义
      • 　m x n 阶矩阵
      • 　n 阶矩阵
      • 　单位矩阵
      • 　实矩阵与复矩阵
    • 矩阵的基本运算
      • 　加法 减法 数乘
      • 　转置 共轭 共轭转置 矩阵的逆
      • 　矩阵的行列式
      • 　乘法
  • 游戏中的矩阵应用2D
    • 基础二维变换
      • 　二维的向量操作
      • 　平移旋转缩放操作的统一运算矩阵
    • 复合变换Composite transformation
      • 　变换合成
      • 　连续变换
    • 基于任意参照点的二维变换
      • 　任意点的旋转变换
      • 　任意点的缩放变换
  • 游戏中的矩阵应用3D

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矩阵基础

　　在游戏开发中，游戏对象的 平移、旋转 和 缩放 都会涉及到矩阵的使用。而在OpenGL中，基本使用的转换方法也都是矩阵，所以，矩阵在游戏开发中是必须要掌握的数学知识。要了解游戏中对象的 平移 、旋转 和 缩放

1. 矩阵的定义：

　m x n 阶矩阵

　　由 m × n 个数 a_ij 排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作：

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a11a21a31⋮am1a12a22a32⋮am2⋯⋯⋯⋱⋯a1na2na3n⋮amn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

　　这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数 a_ij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A 的 (i,j) 元，以数 a_ij 为 (i,j) 元的矩阵可记为 (a_ij) 或 (a_ij)_{m × n}，m×n 矩阵 A 也记作 A_mn。

　n 阶矩阵

　　 行数 与 列数 都等于 n 的矩阵称为 n阶矩阵 或 n阶方阵。
A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a111a21a31⋮an1a12a22a32⋮an2⋯⋯⋯⋱⋯a1na2na3n⋮ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

　单位矩阵

　　 n阶方阵，且对角元素为1，其他元素为0的矩阵。
In=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢10⋮001⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

　实矩阵与复矩阵

　　元素是 实数 的矩阵称为 实矩阵，元素是 复数 的矩阵称为 复矩阵。

2. 矩阵的基本运算：

　　矩阵的基本运算包括矩阵的 加法，减法，数乘，转置，共轭 ，共轭转置 和 矩阵的逆 ,以及最重要的 乘法 。在游戏中的转换运用，用的基本都是乘法的性质。

　《加法、 减法、 数乘》

　　矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算。
　　
　　1. 加法：
　　矩阵的加法满足下列运算律(A，B，C必须都是 同型矩阵 )：
A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C)
　　具体如下：
[i0l0j0m0k0n0]+[i1l1j1m1k1n1]=[i0+i1l0+l1j0+j1m0+m10k0+k1n0+n1]

　　
　　2. 减法
　　同矩阵的假发一样，满足以下运算规律(A，B，C必须都是 同型矩阵 )：
A−B=−B+A (A−B)+C=A+(C−B)
　　具体如下：
[i0+i1l0+l1j0+j1m0+m10k0+k1n0+n1]−[i1l1j1m1k1n1]=[i0l0j0m0k0n0]

　　3.数乘（与实数相乘）
　　矩阵的数乘满足以下规律：
(γμ)A=γ(μA) (γ+μ)A=γA+μA γ(A+B)=γA+γB
kA=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ka11ka21ka31⋮kam1ka12ka22ka32⋮kam2⋯⋯⋯⋱⋯ka1nka2nka3n⋮kamn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

　《转置、 共轭、 共轭转置、 矩阵的逆》

　　1. 转置
　　把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置；
[iljmkn]T=⎡⎣⎢ijklmn⎤⎦⎥
　　矩阵的转置满足以下运算律：
(AT)T=A (γA)T=γAT (AB)T=BTAT

　　2. 共轭
　　矩阵的共轭定义为:
(A)i,j=Ai,j¯¯¯¯¯¯
　　例如：一个2X2的复数矩阵，其共轭方式如下
A=[3+i2−2i5i] A¯¯¯=[3−i2+2i5−i] 　
　
　　3. 共轭转置
　　矩阵的共轭转置定义为： (A∗)i,j=Aj,i¯¯¯¯¯¯
　　也可以写成： A∗=(A¯¯¯)T=AT¯¯¯¯¯
　　例如：一个2X2的复数矩，其共轭转置方式如下
A=[3+i2−2i5i] A∗=[3−i52+2i−i]

　　4. 矩阵的逆
　　矩阵的共轭转置定义为：
A−1n=1|An|An∗ AnAn∗=In

( A_n* 为 A_n 的 伴随矩阵； |A_n| 为 A_n 的 行列式 ； |I_n| 为 n阶 的 单位矩阵 )
　　对于一个 n阶矩阵 A，若存在一个 n阶矩阵 B，使得 AB=BA=I_n，则称 B 是 A 的 逆矩阵，记为 B=A^-1；
　

　《矩阵的行列式》

　　一个n×n的正方矩阵A的行列式记为 det（A） 或者 |A| ；
　　一个3×3矩阵的行列式可表示如下： det⎛⎝⎜adgbehcfi⎞⎠⎟=aei+bfg+cdh−afh−bdih−ceg

　《乘法》

　　两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵 A_mp 的列数 p 和另一个矩阵 B_pn 的行数 p 相等时，才能定义。
C=(cij)m×p=Am×nBn×p cij=∑l=1nailblj
　　其满足 结合律 和 分配律；
(AB)C=A(BC) (A+B)C=AC+BC C(A+B)=CA+CB
　　例如：一个2×3矩阵与3×2矩阵相乘，如下
[1−10321]×⎡⎣⎢321110⎤⎦⎥=[(1×3+0×2+2×1)(−1×3+3×2+1×1)(1×1+0×1+2×0)(−1×1+3×1+1×0)]=[5412]

（矩阵不满足交换律）

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游戏中的矩阵应用（2D）

1. 基础二维变换：

　《二维的向量操作》

　　1. 平移变换 (translation transformation)

　　将点 P(x, y)在 x轴方向、 y轴方向分别平移距离 t_x， t_y，得到点 P´(x׳, y׳)，则：
P′{x′=x+txy′=y+ty
　　图示：

P′=P+T
　　矩阵表示：
P=[xy] T=[txty] P′=P+T=[x+txy+ty]=[x′y′] 平移量 T记为 T(t_x ,t_y)
　　 2. 旋转变换(rotation transformation)

　　点 P(x, y)的极坐标表示（r为P 到原点的距离）

　　绕坐标原点（称为参照点，基准点）旋转角度θ （逆时针为正，顺时针为负） P′{x′=r⋅cos(θ+∅)y′=r⋅sin(θ+∅) P{x=r⋅cos∅y=r⋅sin∅
　　即：
P′{x′=r⋅cos∅cosθ−r⋅sin∅sinθ=x⋅cosθ−y⋅sinθy′=r⋅cos∅sinθ+r⋅sin∅cosθ=x⋅sinθ+y⋅cosθ P′=R⋅P
　　矩阵表示：
P′=R⋅P=[cosθsinθ−sinθcosθ][xy]=[x⋅cosθ−y⋅sinθx⋅sinθ+y⋅cosθ] 旋转量 R记为 R(θ)
　　 3. 缩放变换(scaling transformation)
　　将点P(x, y)在x方向, y方向分别放缩 sx 和 sy 倍，得到点P´(x׳, y׳)

　　以坐标原点为放缩参照（基准）点不仅改变了物体的大小和形状，也改变了它离原点的距离
P′{x′=sxxy′=syy
　　即： P′=S⋅P
　　矩阵表示： P′=S⋅P=[Sx00Sy][xy]=[SxxSyy] 缩放量 S记为 S(s_x,s_y)

　《平移、旋转、缩放操作的统一运算：矩阵》

　　1. 齐次坐标（Homogeneous Coordinate）
　　　为什么需要齐次坐标？
　　　齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。例如，二维点(x,y)的齐次坐标表示为(hx,hy,h)。
　　　由此可以看出，一个向量的齐次表示并不是唯一的，齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐标(8,4,2)、(4,2,1)表示的都是二维点(4,2)；
　　　直接使用上方各个形式不统一的矩阵，会带来很多的不便：
　　　①由于形式不统一，进行多种变换时，计算量会很大；
　　　②同时，运算的形式也不统一，平移为“+”，旋转缩放为“×”；
　　　定义
　　　（x，y）点对应的齐次坐标定义为（x_h，y_h，h）;
xh=hxyh=hyh≠0 {xh=hxyh=hyzh=h

（x，y）点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线
　　　标准齐次坐标 （x，y，1）， h＝0表示无穷远点

　　2. 二维变换的统一矩阵表示

统一表示的优点：
①便于变换合成连续变换时，可以先得到变换的矩阵；
②便于硬件实现；

　　①平移矩阵 T(t_x,t_y) T(tx,ty)⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢100010txty1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢x+txy+ty1⎤⎦⎥
　　②旋转矩阵 R(θ) R(θ)⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎤⎦⎥⎡⎣⎢wy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢x⋅cosθ−y⋅sinθx⋅sinθ+y⋅cosθ1⎤⎦⎥
　　③缩放矩阵 S(s_x,s_y) S(sx,sy)⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢sx000sy0001⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢sxxsyy1⎤⎦⎥
　　3. 变换的性质
　　①平移和旋转变换具有可加性
T(tx2,ty2)⋅T(tx1,ty1)=T(tx1+tx2,ty1+ty2) R(θ2)⋅R(θ1)=R(θ1+θ2)
　　②放缩变换具有可乘性
S(sx2,sy2)⋅S(sx1,sy1)=S(sx1sx2,sy1sy2)
　　4. 逆变换
　　①逆平移变换 T=⎡⎣⎢100010txty1⎤⎦⎥ T−1=⎡⎣⎢100010−tx−ty1⎤⎦⎥ T⋅T−1=⎡⎣⎢100010tx−txty−ty1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥
　　②逆旋转变换 R=⎡⎣⎢cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎤⎦⎥ R−1=⎡⎣⎢cosθsinθ0sinθcosθ0001⎤⎦⎥ RR−1=⎡⎣⎢cos2θ+sin2θsinθcosθ−cosθsinθ0cosθsinθ−sinθcosθsin2θ+cos2θ0001⎤⎦⎥=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥
　　③逆缩放变换 S=⎡⎣⎢sx000sy0001⎤⎦⎥ S−1=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1sx0001sy0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥ SS−1=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥

2. 复合变换（Composite transformation）：

变换合成时，矩阵相乘的顺序：先作用的放在连乘的右端，后作用的放在连乘的左端；

　《变换合成》

　　连续变换时，先计算变换矩阵，再计算坐标；
　　优点1：提高了对图形依次做多次变换的运算效率
　　如：图形上有n个顶点Pi，如果依次施加的变换为T，R（即先平移后旋转），那么顶点Pi 变换后的坐标为：
每个顶点需要2次矩阵相乘P′i=R(θ)⋅T(tx,ty)⋅Pi 只需要1次矩阵相乘P′i=(R(θ)⋅T(tx,ty))⋅Pi=T⋅Pi
　　优点2：能构造复杂的变换矩阵
　　对图形作较复杂的变换时，不直接去计算这个变换，而是将其先分解成多个基本变换，再合成总的变换。
　　多个变换的组合，可通过单个变换矩阵来计算矩阵乘积；

　《连续变换》

　　1. 连续平移
　　平移向量为(t1x，t1y)和(t2x，t2y)，点P 经变换为P´，则有：
P′=T(t2x,t2y)⋅{T(t2x,t2y)⋅P}={T(t2x,t2y)⋅T(t1x,t1y)}⋅P T(t2x,t2y)⋅T(t1x,t1y)=⎡⎣⎢100010t2xt2y1⎤⎦⎥⎡⎣⎢100010t1xt1y1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢100010t1x+t2xt1y+t2y1⎤⎦⎥=T(t1x+t2x,t1y+t2y)
　　2. 连续旋转
　　P 经连续旋转角度分别为θ₁和θ₂后:
P′=R(θ2)⋅{R(θ1)⋅P}={R(θ2)⋅R(θ1)}⋅P
R(θ2)⋅R(θ1)=⎡⎣⎢cosθ2sinθ20−sinθ2cosθ20001⎤⎦⎥⋅⎡⎣⎢cosθ1sinθ10−sinθ1cosθ10001⎤⎦⎥=⎡⎣⎢cos(θ1+θ2)sin(θ1+θ2)0−sin(θ1+θ2)cos(θ1+θ2)0001⎤⎦⎥=R(θ1+θ2)
　　3. 连续缩放
　　连续放缩因子分别为：(s1x, s1y) 和 (s2x, s2y)
S(s2x,s2y)⋅S(s1x,s1y)=S(s1x⋅s2x,s1y⋅s2y) ⎡⎣⎢s2x000s2y0001⎤⎦⎥⋅⎡⎣⎢s1x000s1y0001⎤⎦⎥=⎡⎣⎢s1x⋅s2x000s1y⋅s2y0001⎤⎦⎥

3. 基于任意参照点的二维变换：

　《任意点的旋转变换》

　　步骤：
　　①平移对象使参照（基准）点移到原点
　　②绕坐标原点旋转
　　③平移对象使基准点回到原始位置

其组成的复合矩阵为：R(xr,yr;θ)=T(xr,yr)⋅R(θ)⋅T(−xr,−yr) =⎡⎣⎢100010xryr1⎤⎦⎥⎡⎣⎢cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎤⎦⎥⎡⎣⎢100010−xr−yr1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢cosθsinθ0−sinθcosθ0xr(1−cosθ)+yrsinθyr(1−cosθ)−xrsinθ1⎤⎦⎥

　《任意点的缩放变换》

　　步骤：
　　①平移对象使基准点与坐标原点重合
　　②放缩变换
　　③反向平移使得基准点回到初始位置

其组成的复合矩阵为为：S(xr,yr;sx,sy)=T(xr,yr)⋅S(sx,sy)⋅T(−xr,−yr) =⎡⎣⎢100010xryr1⎤⎦⎥⎡⎣⎢sx000sy0001⎤⎦⎥⎡⎣⎢100010−xr−yr1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢sx000sy0xr(1−sx)yr(1−sy)1⎤⎦⎥

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游戏中的矩阵应用（3D）

等待补充…