括号匹配方案

问题

一个串只包含有’(‘和’)’，如果每个左括号都能和一个右括号匹配，且左括号在左边，右括号在右边，那么称这个串是括号匹配的。比如”(())”，”()()”都是括号匹配的，”)(“，“())(“都不是括号匹配的。你能求出长度为 30 的括号匹配的串有多少个吗？

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答案

9694845

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思路

这题其实就是一个卡特兰数问题，当括号为1对的时候，有1种，当括号为2对的时候，有2种，当为3对的时候有5种，当为4对的时候有14种….,也就说求15对卡特兰数

百度是这样解释卡特兰数的:
卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名，其前几项为 : 1,1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

原理
令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)*h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另类递推式:
h(n)=h(n-1)(4*n-2)/(n+1)
递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)
递推关系的另类解为：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,…)

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实现代码c++

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
long long num[16];
    num[0]=1;
    num[1]=1;
for(int i = 2;i<=15;i++)
        num[i] = num[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
printf("%lld",num[15]);
}