求任意多边形的面积

任意给出一个三角形ΔABC，设其顶点坐标分别为A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3, y3），那么根据线性代数的知识，ΔABC的有向面积可表示为：

其中，ΔABC顶点A、B、C逆时针给出时有向面积为正，顺时针给出时有向面积为负。如图1所示，S∆ABC>0、S∆ABD<0.

图1

我们知道任意的多边形都可以分割成多个三角形，根据以上三角形面积公式就可以求出任意多边形的面积。

                                                        图2

如图2所示的六边形顶点坐标分别为O（x0, y0），A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3, y3），D（x4, y4），E（x5, y5），则其面积可以表示为四个三角形面积之和：S=S∆OAB+S∆OBC+S∆OCD+S∆ODE

其中：

所以

即

在这里，前文给出的多边形示例是一个凸多边形，那么这一结论适用于凹多边形吗？下面我们看看如图3所示的凹多边形。

图3

按照上面的思路，这里的凹多边形面积表示为：S=S∆OAB+S∆OBC+S∆OCD，从前面介绍可以知道

S∆OAB=-S∆OBA<0，所以很明显上式是成立的，即此公式也适用于凹多边形。

经过以上分析，给出任意一个多边形，其顶点坐标依次为（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），...，（xn，yn）（其中n=2，3，4，…），则其面积可表示为：

（注意这里的n 是xn,yn的下标，而坐标是从0开始的，所以此多边形的边数为n+1）

换句话说，若已知多边形边上的每一点坐标，我们就可以求出该多边形的面积，包括如图4所示的曲线图形，当从O点到A点到O点的曲线上每一点坐标都已知时就能求出该曲线图的面积。

图4

例题：（HDU2036）

改革春风吹满地

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Problem Description

“ 改革春风吹满地,
不会AC没关系;
实在不行回老家，
还有一亩三分地。
谢谢!（乐队奏乐）”

话说部分学生心态极好，每天就知道游戏，这次考试如此简单的题目，也是云里雾里，而且，还竟然来这么几句打油诗。
好呀，老师的责任就是帮你解决问题，既然想种田，那就分你一块。
这块田位于浙江省温州市苍南县灵溪镇林家铺子村，多边形形状的一块地，原本是linle 的，现在就准备送给你了。不过，任何事情都没有那么简单，你必须首先告诉我这块地到底有多少面积，如果回答正确才能真正得到这块地。
发愁了吧？就是要让你知道，种地也是需要AC知识的！以后还是好好练吧...

 

Input

输入数据包含多个测试实例，每个测试实例占一行，每行的开始是一个整数n(3<=n<=100)，它表示多边形的边数（当然也是顶点数），然后是按照逆时针顺序给出的n个顶点的坐标（x1, y1, x2, y2... xn, yn）,为了简化问题，这里的所有坐标都用整数表示。
输入数据中所有的整数都在32位整数范围内，n=0表示数据的结束，不做处理。

 

Output

对于每个测试实例，请输出对应的多边形面积，结果精确到小数点后一位小数。
每个实例的输出占一行。

 

Sample Input

3 0 0 1 0 0 1 4 1 0 0 1 -1 0 0 -1 0

 

Sample Output

0.5 2.0

代码如下：

#include<cstdio>
#include<math.h>
#include<iomanip>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 1000
int main() {
	int n;
	while(cin>>n && n!=0 ) {
		int a[N], b[N];
		double ans=0;
		memset(a, 0, sizeof(a));
		memset(b, 0, sizeof(b));
		for(int i=0;i<n;i++)
			cin>>a[i]>>b[i];
		for(int i=0;i<n-1;i++)
			ans+=a[i]*b[i+1]-a[i+1]*b[i];
		ans-=a[0]*b[n-1]-a[n-1]*b[0];
		ans/=2;
		cout<<fixed<<setprecision(1)<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}