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在MIT公开课《计算机科学与编程导论》的第五讲中，讲到编写求解平方根的函数sqrt时，提到了牛顿迭代法。今天仔细一查，发现这是一个用途很广、很牛的计算方法。
首先，考虑如何编写一个开平方根的函数sqrt(float num, float e)。参数num是要求开平方根的实数，参数e是计算结果可以达到多大误差。这是一个无法得到精确解，只能求出近似解的问题。该如何编写呢？
1. 传统的二分法
我们可以先猜测一个值作为解，看这个值是否在误差范围内。如果没有达到误差要求，就构造一个更好的猜测值，继续迭代。猜测值可以简单地初始化为num/2，但怎样在下一轮迭代前构造一个更好的猜测值呢？我们不妨参照二分查找算法的思路，解的初始范围是[0, num]，用二分法逐渐缩小范围。
private static float sqrt(float num, float e) { float low = 0F; float high = num; float guess, e0; int count = 0; do { guess = (low + high) / 2; if (guess*guess > num) { high = guess; e0 = guess*guess - num; } else { low = guess; e0 = num - guess*guess; } count++; System.out.printf("Try %f, e: %f\n", guess, e0); } while (e0 > e);
System.out.printf("Try %d times, result: %f\n", count, guess); return guess; }
在区间[low, high]内取中点(low+high)/2作为猜测值。如果guess*guess大于num，说明猜测值偏大，则在区间[low, guess]进行下一轮迭代，否则在区间[guess, high]中继续。当误差值e0小于能够接受的误差值e时停止迭代，返回结果。
取num=2, e=0.01进行测试，运行结果如下：Try 1.000000, e: 1.000000Try 1.500000, e: 0.250000Try 1.250000, e: 0.437500Try 1.375000, e: 0.109375Try 1.437500, e: 0.066406Try 1.406250, e: 0.022461Try 1.421875, e: 0.021729Try 1.414063, e: 0.000427Try 8 times, result: 1.414063可见尝试了八次才达到0.01的误差。
2. 神奇的牛顿法
仔细思考一下就能发现，我们需要解决的问题可以简单化理解。从函数意义上理解：我们是要求函数f(x) = x²，使f(x) = num的近似解，即x² - num = 0的近似解。从几何意义上理解：我们是要求抛物线g(x) = x² - num与x轴交点（g(x) = 0）最接近的点。
我们假设g(x0)=0，即x0是正解，那么我们要做的就是让近似解x不断逼近x0，这是函数导数的定义：
可以由此得到
从几何图形上看，因为导数是切线，通过不断迭代，导数与x轴的交点会不断逼近x0。
3. 牛顿法的实现与测试
public static void main(String[] args) { float num = 2; float e = 0.01F; sqrt(num, e); sqrtNewton(num, e); num = 2; e = 0.0001F; sqrt(num, e); sqrtNewton(num, e); num = 2; e = 0.00001F; sqrt(num, e); sqrtNewton(num, e); }
private static float sqrtNewton(float num, float e) { float guess = num / 2; float e0; int count = 0; do { guess = (guess + num / guess) / 2; e0 = guess*guess - num; count++; System.out.printf("Try %f, e: %f\n", guess, e0); } while (e0 > e);
System.out.printf("Try %d times, result: %f\n", count, guess); return guess; }
与二分法的对比测试结果：
Try 1.000000, e: 1.000000Try 1.500000, e: 0.250000Try 1.250000, e: 0.437500Try 1.375000, e: 0.109375Try 1.437500, e: 0.066406Try 1.406250, e: 0.022461Try 1.421875, e: 0.021729Try 1.414063, e: 0.000427Try 8 times, result: 1.414063
Try 1.500000, e: 0.250000Try 1.416667, e: 0.006945Try 2 times, result: 1.416667
Try 1.000000, e: 1.000000Try 1.500000, e: 0.250000Try 1.250000, e: 0.437500Try 1.375000, e: 0.109375Try 1.437500, e: 0.066406Try 1.406250, e: 0.022461Try 1.421875, e: 0.021729Try 1.414063, e: 0.000427Try 1.417969, e: 0.010635Try 1.416016, e: 0.005100Try 1.415039, e: 0.002336Try 1.414551, e: 0.000954Try 1.414307, e: 0.000263Try 1.414185, e: 0.000082Try 14 times, result: 1.414185
Try 1.500000, e: 0.250000Try 1.416667, e: 0.006945Try 1.414216, e: 0.000006Try 3 times, result: 1.414216
Try 1.000000, e: 1.000000Try 1.500000, e: 0.250000Try 1.250000, e: 0.437500Try 1.375000, e: 0.109375Try 1.437500, e: 0.066406Try 1.406250, e: 0.022461Try 1.421875, e: 0.021729Try 1.414063, e: 0.000427Try 1.417969, e: 0.010635Try 1.416016, e: 0.005100Try 1.415039, e: 0.002336Try 1.414551, e: 0.000954Try 1.414307, e: 0.000263Try 1.414185, e: 0.000082Try 1.414246, e: 0.000091Try 1.414215, e: 0.000004Try 16 times, result: 1.414215
Try 1.500000, e: 0.250000Try 1.416667, e: 0.006945Try 1.414216, e: 0.000006Try 3 times, result: 1.414216
可以看到随着对误差要求的更加精确，二分法的效率很低下，而牛顿法的确非常高效。可在两三次内得到结果。
如果搞不清牛顿法的具体原理，可能就要像我一样复习下数学知识了。极限、导数、泰勒展开式、单变量微分等。
4. 更快的方法
在Quake源码中有段求sqrt的方法，大概思路是只进行一次牛顿迭代，得到能够接受误差范围内的结果。因此肯定是更快的。
float Q_rsqrt( float number )
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
#ifndef Q3_VM
#ifdef __linux__
assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
#endif
#endif
return y;
}