数据结构与算法学习笔记（二）

算法效率的度量方法：
1. 事后统计法：通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。缺陷：必须依据算法事先编制好测试程序，通常需要花费大量时间和精力。不同测试环境差别也很大。
2. 事前分析估算法：在计算机程序编写签，依据统计方法对算法进行估算。
高级语言编写的程序在计算机上运行时所耗的时间取决于下列因素：
1. 算法采用的策略，方案
2. 编译产生的代码质量
3. 问题的输入规模
4. 机器执行指令的速度
研究算法的复杂度，侧重的是研究算法随着输入规模扩大增长量的一个抽象，而不是精确地定位需要执行多少次。在分析一个算法的运行时间时，重要的是把基本操作的数量和输入模式关联起来。
函数渐进增长：给定两个函数f(n)和g(n),如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。
判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高项）的阶数。
算法的时间复杂度：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记做：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。（这里的时间指的是执行的次数）
用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。
一般情况下，随着输入规模n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

如何分析一个算法的时间复杂度：

用常数1取代运行时间中的所有加法常数
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数
得到最后的结果就是大O阶

int sum = 0, n = 100;
printf("aaaaaaaaaaaa\n");
printf("aaaaaaaaaaaa\n");
printf("aaaaaaaaaaaa\n");
printf("aaaaaaaaaaaa\n");
printf("aaaaaaaaaaaa\n");
printf("aaaaaaaaaaaa\n");
sum = (1+n)*n/2
//这段代码的时间复杂度为O(1),因为这段代码执行了8次，没有与n相关，常数都简化为1

线性阶：一般含有非嵌套循环设计线性阶，线性阶就是随着问题规模n的扩大，对应计算次数呈直线增长。
1. ```
int i, n = 100, sum = 0;
for(i = 0; i<n; i++) {
    sum = sum + i;
}
```
  上面这段代码的循环复杂度为O(n)，因为循环体中的代码需要执行n次
平方阶
1. ```
int i,j,n = 100;
for(i = 0; i < n; i++) {
for(j = 0; j < n; j++) {
        printf("aaaaaaaaaaaa\n");
    }
}
```
  上面这段代码的时间复杂度为O(n²)。
2. ```
int i,j,n = 100;
for(i = 0; i < n; i++) {
for(j = i; j < n; j++) {
        pringtf("aaaaaaaaaaaaaa\n");
    }
}  
```
  分析，由于当i=0时，内循环执行了n次，当i=1时，内循环则执行n-1次。。。。。。当i=n-1时，内循环执行1次，所以总的执行次数应该是n+(n-1)+(n-2)+...+1=n(n+1)/2用上面的简化方法来简化½n²+½n，这个式子中没有常数项不用考虑第一条，根据第二条只保留最高项，去掉½n这一项，根据第三条去掉与最高项相乘的常数½，最终得到O(n²)
对数阶
1. ```
int i = 1, n = 100;
while(i < n) {
    i = i*2;
}
```
  由于每次i*2之后就距离n更近一步，假设有x个2相乘后大于或等于n，则会退出循环。于是由2^x=n得到x=log₂n，所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

int i,j;
for(i = 0; i < b; i++) {
    function(i);
}

void function(int count) {
    printf("%d",count);
}

function函数的时间复杂度是O(1),所以整体的时间复杂度就是循环的次数O(n)。

int i,j;
for(i = 0; i < b; i++) {
    function(i);
}

void function(int count) {
int j;
for (j = count; j < n;j++) {
        printf("%d",j);
    }
}

和平方阶中第二个例子一样，function内部的循环次数随count的增加而减少，所以根据方法简化后的时间复杂度为O(n²)

n++;-------------------------------------执行1次
function(n);-----------------------------执行n²次
for(i = 0;i < n; i++) {------------------执行n²次
    function(i);
}
for(i = 0;i < n; i++) {------------------执行n²次
for(j = i;j < n; j++) {
        printf("%d",j);
    }
}
void function(int count) {
int j;
for (j = count; j < n;j++) {
        printf("%d",j);
    }
}

上面几次操作是并列的，整体的执行次数应该是各个操作执行次数之和3n²+1，简化后得到时间复杂度为O(n²)

常见的时间复杂度

例子	时间复杂度	术语
5201314	O(1)	常数阶
3n+4	O(n)	线性阶
3n²+4n+5	O(n²)	平方阶
3log₂n+4	O(logn)	对数阶
2n+3nlog₂n+14	O(nlogn)	nlogn阶
n³+2n²+4n+6	O(n³)	立方阶
2ⁿ	O(2ⁿ)	指数阶

　 17. 常见的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是

　　　　　　　　O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!) < (nⁿ)

　 18. 平均运行时间是期望的运行时间

19. 最坏运行时间是一种保证。在应用中，这是一种最重要的需求，通常除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

　 20. 算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法的空间复杂度的计算公式记做S(n) = O(f(n)),其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

　 21. 通常，我们都是用“时间复杂度”来指运行时间的需求，用“空间复杂度”指空间需求。

　 22. 当直接让我们求“复杂度”时，通常指的是时间复杂度。

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