一道 google曾出过的笔试题：编程实现对数学一元多项式的相加和相乘操作（1）

数学中一元n次多项式可表示成如下的形式：

 Pn(x)=p0+p1x+p2x^2+…+pnx^n     (最多有 n+1 项，n +1 个系数唯一确定她)     

　　(1)请设计一套接口用以表示和操作一元多项式

　　(2)根据上述设计实现一元n次多项式的加法运算

　　(3)根据上述设计实现一元n次多项式的乘法运算

分析： 

题目大概意思：

数学里常见的一元 n 次表达式，设计出加减乘除的函数（方法），同时提供对外接口，把内部实现封装起来，而 n 的大小没有指定。

问题的本质：

就是一系列的单个未知数 x，指数和系数数字p（i）,0 =< i <= n组成的长串的表达式，然后把长长的表达式进行数学运算，假发和乘法，那么立马想到，这里需要线性表这个数据结构，符号多项式的表示和操作是线性表处理的典型用例。 且有变量 N，那么自然会联系到范围问题。

解决思路：

对问题进行进一步分解，常用的线性表，无非就是链表和顺序表，又分静态和动态内存分配的。数学的一元多项式，用一个线性表 P 来表示：P = ( p0, p1, p2, …, pn )

每一项，x的指数  隐含在其系数 p（i） 的下标i里。这样的话，只是存储系数就 ok了，未知数 x 的指数让系数下标标识。比较简单是用数组（静态顺序表存储），那么问题来了……

存储空间不够了怎么办?

显然，可以使用动态线性表，这样，伸缩自如！再也不担心不够存储了！继续分析，这样解决了空间大小的问题（有限范围内的内存），剩下的就是设计计算的算法，联想中学时代的算数，多项式并不是每一个项都必须写出来的，那么问题来了……

如果 p 里含有大量的0怎么办？

显然这样的存储结构也不太好，会大量浪费内存。比如 p=1 + 7x^12000，要用一个长度为 12001 的线性表来表示，表中仅有 两 个非零系数，会浪费大量存储空间。 不划算。需要改变策略，首先一个原则就是：系数=0不存储！那么自然是只存储非0系数，而指数就必须同时也要存储！否则无法标识指数。其实，日常生活里，也是这样的，一个数学或者物理化学的公式，表达式，系数为0的项，没人会把它写出来吧？！而且这样的多项式数序上叫稀疏多项式。

最终，确定使用链表来存储，因为，系数为0的项，经过计算，可能变为非0，相反非0的项经过计算，也可能变味0，必然要用到删除和插入算法，那么显然链表还是最佳的表示方法，效率比较高，不用大量移动元素，且可以动态增长。节省存储空间。

定义 ADT三要素：数据对象，数据关系，数据操作

PS:其实还是面向对象表达 ADT 比较好，当然 c 也完全 ok，个人 c++不是很融汇贯通，高级的语法和特性不敢乱用，免得班门弄斧，贻笑大方……不使用高级特性和复杂语法的话，cpp就索然无味，索性一直用 纯真的 c 来练习一些东西，因为这样更好的把重点放到算法和工程问题本身，而不是复杂庞大的 c++语言的枝端末节上，c++还是比 c 多了很多复杂繁琐的东西（这里又想到了一道奇葩的问题——如何用 c 实现面向对象？）

google 的这个问题充分暴露了本人c++功底不过关， c++求解实现的过程因为使用的是类模版，函数模版，继承，和输入输出等的运算符重载，导致程序代码较多，且出现了很多错误，考虑编码练习和算法设计，重点学习的是思想和方法，还是用c写，c++的巩固和加强完全可以放到其他闲散时间完成.

这个题的难点其实是最后一问！

因为既然是google的题，肯丢最后要考虑时间复杂度和优化问题。只有结果肯丢过不了关，这里先提供一个最直接的思路。也是比较费时间的。o（n*m）

//直接思考，多项式相乘，每一项一一顺次（考虑两个嵌套循环）的去做乘法，指数相加，系数相乘，保存到临时变量，又考虑到有多项，自然是数组保存了……

//这是正常的很直观的思路，可以依靠数组的下标去映射指数，把系数存到对应指数（下标）处，这里是累加的和。

然后再依靠一个循环，顺次去判断数组的内容，取出想要的系数和对应下标（就是指数），组成一个新项，那就ok了。
//最后的阶数必然是两式子最高阶之和，自然这个数组的长度=这个和+1

 /************************************************************************/
 // 头文件Polynomial.h
 // 定义链表结构
 /************************************************************************/
 #ifndef POLYNOMIAL_H
 #define POLYNOMIAL_H
 #include <stdlib.h>
 #include <stdio.h>
 #include <float.h>

 //链表结构
 typedef struct Node{
     struct Node *next;
     double coefficient;
     int exponent;
 } Node, *Polynomial;

 //链表初始化
 void initList(Polynomial *L)
 {
     //头结点
     if (NULL == *L)
     {
         *L = (Polynomial)malloc(sizeof(Node));
         (*L)->coefficient = 0.0;
         (*L)->exponent = -;
         (*L)->next = NULL;
     }
     else
     {
         puts("表已经存在！");
     }
 }

 //判断指数同否
 int compareExponent(Polynomial nodeA, Polynomial nodeB)
 {
     int a = nodeA->exponent;
     int b = nodeB->exponent;

     if (a == b)
     {
         return ;
     }
     else
     {
         return a > b ?  : -;
     }
 }

 //系数判断
 bool isZeroByCoefficient(Polynomial node)
 {
     if (node->coefficient >= -LDBL_EPSILON && node->coefficient <= LDBL_EPSILON)
     {
         return true;
     }
     else
     {
         return false;
     }
 }

 //判断2
 //系数判断
 bool isZeroByDouble(double a)
 {
     if (a >= -LDBL_EPSILON && a <= LDBL_EPSILON)
     {
         return true;
     }
     else
     {
         return false;
     }
 }

 //尾插法建表
 void creatListByTail(Polynomial *L, int n)
 {
     //头结点
     if (NULL == *L)
     {
         *L = (Polynomial)malloc(sizeof(Node));
         (*L)->coefficient = 0.0;
         (*L)->exponent = -;
         (*L)->next = NULL;
         Polynomial tail = NULL;
         Polynomial ptr = *L;
         //初始化？
         if (NULL == (*L)->next)
         {
             puts("请按照指数升幂，连续的输入项的系数（double）和指数（int）：（中间空格隔开）");
             //循环建表
             for (int i = ; i < n; i++)
             {
                 tail = (Polynomial)malloc(sizeof(Node));
                 tail->next = NULL;
                 scanf("%lf %d", &tail->coefficient, &tail->exponent);

                 while (getchar() != '\n')
                 {
                     continue;
                 }
                 //链接
                 ptr->next = tail;
                 //移动指针
                 ptr = ptr->next;
                 //尾结点
             }
         }
         else
         {
             puts("表已经建立！");
         }
     }
     else
     {
         puts("表头已经存在！");
     }
 }

 //遍历
 void traverseList(Polynomial L)
 {
     Polynomial ptr = L->next;
     int i = ;

     while (ptr != NULL)
     {

         printf("一元多项式的第%d项：%g X ^ %d\n", i, ptr->coefficient, ptr->exponent);
         i++;
         ptr = ptr->next;
     }
 }

 //求最高阶数
 int getMaxExp(Polynomial L)
 {
     Polynomial ptr = L;

     while (ptr->next != NULL)
     {
         ptr = ptr->next;
     }

     return ptr->exponent;
 }

 //删除结点,删除L中ptr指向的结点
 void deleteNode(Polynomial L, Polynomial ptr)
 {
     Polynomial p = L;

     while (p->next != ptr)
     {
         p = p->next;
     }

     ptr = p->next;
     p->next->next = ptr->next;
     free(ptr);
     ptr = NULL;
 }

 //多项式相加，本质是链表的归并算法
 //可以另外开辟空间，也可以使用已存在的空间存储，这里使用后者的算法
 void addPolynomial(Polynomial LA, Polynomial LB)
 {
     //不再开辟内存
     Polynomial a = LA->next;
     Polynomial b = LB->next;
     Polynomial LC = LB;
     Polynomial tail = LC;

     while (a != NULL && b != NULL)
     {
         //判断指数的关系 a > b ? 1 : -1  else 0
         switch (compareExponent(a, b))
         {
         case :
             tail->next = b;
             tail = tail->next;
             b = b->next;
             break;

         case -:
             tail->next = a;
             tail = tail->next;
             a = a->next;
             break;

         default:
             double temp = a->coefficient + b->coefficient;
             // 0？
             if (isZeroByDouble(temp))
             {
                 a = a->next;
                 b = b->next;
                 //删除
                 deleteNode(LC, tail->next);
             }
             else
             {
                 tail->next = b;
                 tail = tail->next;
                 b->coefficient = temp;
                 a = a->next;
                 b = b->next;
             }// end of if
         }// end of switch
     }//end of while
     //一表比完
     if (NULL == a)
     {
         tail->next = b;
     }
     else
     {
         tail->next = a;
     }// end of if

     free(LA);
     LA = NULL;
 }

 //多项式相乘
 void mulPolynomial(Polynomial LA, Polynomial LB, Polynomial LC)
 {
     Polynomial a = LA->next;
     Polynomial b = LB->next;
     Polynomial c = LC;
     Polynomial ptr = NULL;
     //两多项式的阶数
     int numA = getMaxExp(LA);
     int numB = getMaxExp(LB);
     //结果多项式的阶数
     int maxNum = numA + numB;
      //动态开辟数组空间
      double *receive = (double *)malloc((maxNum + ) * sizeof(double));
      //为数组赋值
      for (int i = ; i < maxNum + ; i++)
      {
          //i相当于指数，数组值就是相应指数的系数
          receive[i] = 0.0;
      }
     //指数及数组下标
     int expByIndex = ;
     //顺次扫描A
     while (a != NULL)
     {
         //A不空，顺次扫描B
         while (b != NULL)
         {
             //两项做乘法之后的指数和
             expByIndex = a->exponent + b->exponent;
             //系数之间做乘，结果保存到对应的指数下（下标），
             receive[expByIndex] += (a->coefficient) * (b->coefficient);
             b = b->next;
         }

         b = LB->next;
         a = a->next;
     }// end of while
     //数组保存的是全部项，两两分别乘法之后的结果，保存在对应的下标（数组位置）
     for (int i = ; i < maxNum + ; i++)
     {
         // 0？
         if (isZeroByDouble(receive[i]))
         {
             //not do sth
         }
         else
         {
             //生成结点
             ptr = (Polynomial)malloc(sizeof(Node));
             //接到 LC 表
             c->next = ptr;
             c = c->next;
             //赋值
             c->coefficient =receive[i];
             c->exponent = i;
         }// end of if
     }// end of for

     c->next = NULL;
 }

 //链表销毁
 void destroyList(Polynomial *L)
 {
     Polynomial ptr = NULL;

     while (*L != NULL)
     {
         ptr = (*L)->next;
         free(*L);
         *L = ptr;
     }
     //
     *L = NULL;
     puts("销毁完毕");
 }
 #endif

注意：

1、

//数组维数在c99之前必须是常量，c99之后可以是变长数组，但是很多编译器还不支持。

//double receive[maxNum + 1] = {0};目前来说error!

2、

最后销毁的时候销毁B就行了，因为把A插到B，B就是C，C就是B，A只剩下头结点，在相加函数里，早已经被删除！如果还销毁B，铁定报错！重复析构。

3、

多项式相乘（其实就是两个链表的合并问题），这里有两个方法比较常见:

最简单也是最费时间（时间复杂度 o（n*m）最高的实现方法）的直接相乘法:

其实很简单，把表 A 的每一项系数分别和表 B 的每一项系数做乘法，同时，把他们的指数相加，存储到临时数组里，这样得到 N（A）x N（B）个新的项，按照指数相同的，把他们的系数相加组合为一新的项，附带这个指数，输出，得结果。

比较经典的是分治法。

 #include "Polynomial.h"

 int main(void)
 {
     puts("第一波计算加法：初始化表A,B");
     Polynomial LA = NULL;
     Polynomial LB = NULL;

     puts("建表A");
     creatListByTail(&LA, );
     puts("打印A");
     traverseList(LA);
     puts("建立表B");
     creatListByTail(&LB, );
     puts("打印表B");
     traverseList(LB);
     //相加
     puts("表A,B相加");
     addPolynomial(LA, LB);
     puts("打印和");
     traverseList(LB);
     //销毁B即可
     puts("销毁表A,B");
     destroyList(&LB);

 puts("第二波计算乘法：初始化表A，B，C");
     Polynomial LAX = NULL;
     Polynomial LBX = NULL;
     Polynomial LCX = NULL;
     initList(&LCX);

     puts("建表A,B");
     creatListByTail(&LAX, );
     puts("打印表A");
     traverseList(LAX);
     puts("建立表B");
     creatListByTail(&LBX, );
     puts("打印表B");
     traverseList(LBX);
     //相乘
     puts("表A,B做乘法");
     mulPolynomial(LAX, LBX, LCX);
     puts("打印结果");
     traverseList(LCX);
     //销毁
     puts("销毁表ABC");
     destroyList(&LAX);
     destroyList(&LBX);
     destroyList(&LCX);

     system("pause");
     return ;
 }

还有一种改进的快速的傅里叶变换算法实现（未完待续）

欢迎关注

dashuai的博客是终身学习践行者，大厂程序员，且专注于工作经验、学习笔记的分享和日常吐槽，包括但不限于互联网行业，附带分享一些PDF电子书，资料，帮忙内推，欢迎拍砖！