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1.原理
回顾上章所说的kNN算法，其利用输入样本和训练样本的特征点差异，来选择k个最小差异的标记样本，这k个样本大部分处于哪个分类就认定输入的样本是哪个分类的。为了处理各个特征取值范围不同对差异的影响，采取了数值归一化的处理方法。从以上步骤可以看出，kNN默认所有特征是同等重要的，输入样本最终是由所有特征共同决定的，但是实际上呢？事物虽然有许多的特征，但是通常是由几个重要特征来判断其分类的，也就是说特征对于分类是有不同影响力的，有的对分类起到了较为关键性作用。以上就是本章所要说的决策树的一个引导内容。
决策树的原理也比较简单，其将特征按照中要程度进行排序，一个输入样本先通过重要的特征进行选择，该输入样本该特征接下来进入了哪个判断条件，进入下一个选择的特征，直到找到其最终分类。这就好像猜谜游戏，提问者提出猜一个人名，猜测者通过不断的提问：国内还是国外，近代还是古代，男还是女，不断的进行选择，最终缩小到具体的人名。由于提问次数有限，所以肯定需要将最能缩小范围的问题放在最前面，这个就是决策树的一般思路。
那么问题来了，对于一个事物而言，其有N个特征，如何判断哪个特征比较重要呢？换个说法就是如何构建决策树。这牵扯到一个重要的理论——信息论。
1.1 信息熵
二十世纪克劳德·香农创建了信息论，这是一个非常重要的理论，近代社会经历了蒸汽革命，电力革命以及信息革命，信息论可以说是信息革命根基。在二十世纪描述信息一向被认为是很困难甚至是不可能的事情，到现在要一个普通人定义信息估计也会说的是似而非，无法概括信息究竟是个什么。香农的一个伟大贡献就是其确定了描述信息的数学方法，顺便一提，计算机数据存储的基本单位比特也是由香农定义并命名的，如果没有信息论，可以说近代计算机发明是很困难的事情。
回归正题。信息论中提出了一个很重要的概念——熵。熵的含义是体系的混乱程度，体系越混乱，熵的值越大。放在信息论中，信息熵的含义就变成了信息量的大小。以本文介绍的分类问题为例，从分类角度描述狗这个事物的信息量，狗被划分的品种越多，那么狗的信息肯定更加丰富，信息熵越大，即狗的分类体系越复杂，分类越多。下面香农给出的公式可以说明上面所说的内容。
定义一个体系中的某一个事物（分类体系中的一种类别）其信息为：
P(Xi)就是该类别出现的概率。整个体系的信息熵计算方法如下：
简单理解一下就知道，分类越多，每个分类的概率就越小，l(Xi)的值就会越大，H肯定就更大，所以分类越多，信息熵越大。上面公式和数学中所学的期望很像，期望的计算也是可能性的出现概率*可能性的值累加起来，所以信息熵也被看成是信息的期望。
1.2 信息增益
通过上面的内容可以理解信息熵的基本概念，但是信息熵对于特征的重要程度有什么关系呢？其实这里面还有一个概念就是信息增益。信息熵越大，所能说明的就是情况越复杂，换句话就是说信息熵越小，情况越简单，如果一个特征的值已知，计算这种情况下的新的信息熵，信息增益=最初的信息熵-新的信息熵，信息增益越大的，则该特征越重要。
如何理解这个概念呢？其实很简单，已知了一个特征，其计算出来的信息熵越小，信息增益的值就会越大，信息熵越小代表情况更简单，即通过该特征的值更容易使分类情况简单，这不就意味着该特征对于一个事物的分类起到的作用更大吗。所以通过信息增益的大小可以衡量特征的重要程度。
具体计算过程就是：选择一个特征，得出其在训练样本中所有可能的解，按找不同的解划分子集，例如特征X的值有0，1，样本被划分成子集X=1和子集X=2，分别计算这两个子集的信息熵，再乘以子集占全部集合的比例，最后得到的就是新的信息熵。其实也就是一种期望，该特征特定解的出现概率*该特征特定解的子集（不包含该特征）的信息熵，该特征所有解之和就是新数据集的信息熵。
2.决策树具体实现方法
原理中只说明了如何进行选择具有决定性的特征，那么具体如何构建决策树呢？方法很简单，选择最有决定性的特征，其有若干解，构建若干解的子集的决策树，这样递归下去，直到所有的答案指向同一个分类，或者是最后一个特征了，挑选大部分训练集所选择的分类。文字说明比较难懂，看下面的伪逻辑：
loop(dataSet):
if dataSet 所有分类都是同一个，返回该分类
if dataSet 没有可以进行选择的条件了，返回该结果集大部分指向的分类
通过信息增益指标，选择当前dataSet最有决定性的特征
for 该特征的值：
该值所得出的子集subDataSet
tree = loop(subDataSet) 构建该特征的该值的子树
return tree
整个过程就是一个不断分叉的过程，选择当前具有决定性的特征，通过其值构建子树，构建子树的方法就是使用子训练集再通过构建树的方法进行构建，构建的终点就是要不全是一个分类，要不不能再分叉了就选择最终大部分所在的结果。
3.问题及优缺点
优点：计算复杂度不高，输出结果易于理解，对中间值的缺失不敏感，可以处理不相关特征数据
缺点：可能会产生过度匹配问题。
由上面的内容也可以看出，决策树一旦构建成功，可以很快的计算出输入内容的结果，根据特征的值不断的选择。缺点可以通过裁剪决策树来处理，较为流行的决策有ID3,C4.5,CART。
4.代码
下面代码出自《机器学习实战》一书，原书中所有代码例子可以在网站：这里。进行下载。
# 计算当前数据集的信息熵
def calcShannonEnt(dataSet):
numEntries = len(dataSet)
labelCounts = {}
for featVec in dataSet: #the the number of unique elements and their occurance
currentLabel = featVec[-1]
if currentLabel not in labelCounts.keys(): labelCounts[currentLabel] = 0
labelCounts[currentLabel] += 1
shannonEnt = 0.0
for key in labelCounts:
prob = float(labelCounts[key])/numEntries
shannonEnt -= prob * log(prob,2) #log base 2
return shannonEnt
# 得到满足指定特征axis的指定value的子集
def splitDataSet(dataSet, axis, value):
retDataSet = []
for featVec in dataSet:
if featVec[axis] == value:
reducedFeatVec = featVec[:axis] #chop out axis used for splitting
reducedFeatVec.extend(featVec[axis+1:])
retDataSet.append(reducedFeatVec)
return retDataSet
# 根据信息增益获取最佳特征
def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):
numFeatures = len(dataSet[0]) - 1 #the last column is used for the labels
baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet)
bestInfoGain = 0.0; bestFeature = -1
for i in range(numFeatures): #iterate over all the features
featList = [example[i] for example in dataSet]#create a list of all the examples of this feature
uniqueVals = set(featList) #get a set of unique values
newEntropy = 0.0
for value in uniqueVals:
subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)
prob = len(subDataSet)/float(len(dataSet))
newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet)
infoGain = baseEntropy - newEntropy #calculate the info gain; ie reduction in entropy
if (infoGain > bestInfoGain): #compare this to the best gain so far
bestInfoGain = infoGain #if better than current best, set to best
bestFeature = i
return bestFeature #returns an integer
# 计算最终不可分时大部分所指向的分类
def majorityCnt(classList):
classCount={}
for vote in classList:
if vote not in classCount.keys(): classCount[vote] = 0
classCount[vote] += 1
sortedClassCount = sorted(classCount.iteritems(), key=operator.itemgetter(1), reverse=True)
return sortedClassCount[0][0]
# 构建决策树
def createTree(dataSet,labels):
classList = [example[-1] for example in dataSet]
if classList.count(classList[0]) == len(classList):
return classList[0]#stop splitting when all of the classes are equal
if len(dataSet[0]) == 1: #stop splitting when there are no more features in dataSet
return majorityCnt(classList)
bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet)
bestFeatLabel = labels[bestFeat]
myTree = {bestFeatLabel:{}}
del(labels[bestFeat])
featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet]
uniqueVals = set(featValues)
for value in uniqueVals:
subLabels = labels[:] #copy all of labels, so trees don't mess up existing labels
myTree[bestFeatLabel][value] = createTree(splitDataSet(dataSet, bestFeat, value),subLabels)
return myTree