组合数学 容斥原理 专题

容斥原理

HDU 1796

这道题的题意是说给你一个集合，总共有15个元素，每个元素大小小于等于20；问从1至n的数中，能整除集合中任意一个数的总的个数为多少？

那么根据容斥原理，我们知道，答案为整除一个元素的数个数之和，减去同时整除两个元素的整数个数之和；加上同时整除三个元素的整数个数之和等等。。。这个枚举直接写一个dfs就行了。可以参考一下我的代码，写的比较简洁。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL n, m;
int a[15];

LL ans, step;

bool vis[25];

LL gcd(LL a, LL b)
{
    while(b)
    {
        LL temp = b;
        b = a%b;
        a = temp;
    }
    return a;
}

LL lcm(LL a, LL b)
{
    return a/gcd(a, b)*b;
}

void dfs(LL cur, int index, int need)
{
	if( need == 0 )
	{
		step += (LL)(n-1)/(LL)cur;
		return ;
	}

	if( m-index+1 < need )
		return ;

	for(int i=index; i<=m; i++)
	{
		vis[i] = true;
		dfs(lcm(cur, a[i]), i+1, need-1);
		vis[i] = false;
	}
}

LL solve()
{
	ans = 0;
	memset(vis, 0, sizeof(vis));

	int dir = 1;
	for(int i=1; i<=m; i++)
	{
		step = 0;
		dfs(1, 1, i);
		ans += dir*step;
		dir *= -1;
	}
	return ans;
}

int main()
{
    memset(vis, false, sizeof(vis));
	while( cin>>n>>m )
	{
		for(int i=1; i<=m; i++)
		{
			int temp;
			scanf("%d", &temp);
            vis[temp] = true;;
		}
		m = 0;
		for(int i=1; i<=20; i++)
        {
            if(vis[i])
                a[++m] = i;
        }
		LL ans = solve();
        cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}

HDU 4451

这道题是12年金华赛区现场赛的一道水题。可以用容斥原理来做，也可以用巧妙的方法进行枚举。这里简单说一下用容斥原理的做法吧。

所有的穿法为n*m*k，剪掉所有包含一个不和谐搭配的方案数，加上两个都为不和谐的搭配方案数，这样子容斥下来就是最后的结果了。

可以看一下代码，比较简单。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAX = 1010;

int clothes[MAX], pants[MAX];

int main()
{
    int n, m, k;
    while(scanf("%d%d%d", &n, &m, &k) != EOF)
    {
        if(n == 0 && m == 0 && k == 0)
            break;
        memset(clothes, 0, sizeof(clothes));
        memset(pants, 0, sizeof(pants));

        int p;
        scanf("%d", &p);
        int a, b;
        char s1[10], s2[10];
        while(p--)
        {
            scanf("%s%d%s%d", s1, &a, s2, &b);
            if(strcmp(s1, "clothes") == 0)
                clothes[b]++;
            else
                pants[a]++;
        }
        int ans = 0;
        ans = n*m*k;
        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            ans -= (clothes[i]*k);
            ans -= (pants[i]*n);
        }
        for(int i=1; i<=m; i++)
            ans += clothes[i]*pants[i];
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}