cf 258 E - Devu and Flowers 容斥+组合数取模（lucas定理）

时间：2022-12-18 22:09:24

转http://blog.csdn.net/nexplain/article/details/38122403

题目链接：http://codeforces.com/contest/451/problem/E 


题目大意：给n个花坛，每个有f[i]朵花，相同花坛花的颜色相同，不同花坛颜色不同，问取恰好s朵花的取法共多少种（n,f[i],s分别为20,1e12,1e14）


题解：一开始看这个题确实没什么思路，用一般背包的思路去想的话思考的角度是“如何在每个花坛取的花数不超的情况下凑出s个”，这样的话要考虑的情况太多了，很难想出方案。

           换个角度思考的话，我们不去想“在每个花坛都不超过的情况下凑出s朵花”，而是"凑出s朵花"：如果总共要取sum朵花，不考虑花坛的数量限制的话，那么用隔板法可以知道是C(sum+n-1,n-1)种取法。但这些取法里面包含了某些花坛取爆了的情况（就是取的花数量超过了花坛里花的总数）。这样的话枚举一下有哪些花坛被取爆了，容斥一下答案就出来了。如果我当前枚举有i,j,k这3个花坛一定取爆了，那么剩下的花还有s - (i+1) - (j+1) - (k+1)这么朵个，再不考虑限制的分配给所有花坛的方法跟开始一样，只是总数变了而已。根据枚举的取爆的花坛数量分别偶数+奇数-就可以得到答案了。


          这里算的C(sum+n-1, n-1)，由于n很小所以只要暴力就可以了。我这里直接用了lucas定理的模版，实际上没什么用。。


关于lucas定理

首先给出这个Lucas定理：

A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0])  modp同余

即：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) 

对于大组合数取模，n,m不大于10^5的话，用逆元的方法，可以解决。对于n,m大于10^5的话，那么要求p<10^5，这样就是Lucas定理了，将n,m转化到10^5以内解。 


#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;

const int N = 50;
typedef long long LL;
const int MOD = 1e9 + 7;
int inv(int a)
{
    //return fpow(a, MOD-2, MOD);
    return a == 1 ? 1 : (long long)(MOD - MOD / a) * inv(MOD % a) % MOD;
}
LL C(LL n, LL m)
{
    if (m < 0)return 0;
    if (n < m)return 0;
    if (m > n - m) m = n - m;

    LL up = 1, down = 1;
    for (LL i = 0 ; i < m ; i ++)
    {
        up = up * (n - i) % MOD;
        down = down * (i + 1) % MOD;
    }
    return up * inv(down) % MOD;
}
LL lucas(LL n, LL m, LL p)
{
    LL ret = 1;
    while (n && m)
    {
        LL a = n % p, b = m % p;
        if (a < b)return 0;
        ret = ret * C(a, b) % p;
        n /= p;
        m /= p;
    }
    return ret;
}
int n;
LL s;
LL f[N];
void solve()
{
    LL ans = 0;
    for (int i = 0 ; i < (1 << n) ; i ++)
    {
        LL sum = s;
        int bit = 1;
        for (int j = 0 ; j < n ; j ++)
        {
            if (i & (1 << j))
            {
                sum -= f[j] + 1;
                bit = -bit;
            }
        }
        if (sum < 0)continue;
        ans += bit * lucas(sum + n - 1, n - 1, MOD);
        ans %= MOD;
    }
    cout << (ans + MOD) % MOD << endl;
}
int main()
{
    cin >> n >> s;
    for (int i = 0 ; i < n ; i ++)cin >> f[i];
    solve();
    return 0;
}


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