NOIP2014-10-30模拟赛

T1:逗比三角形

【题目描述】

小J是一名OI退役滚粗文化课选手，他十分喜欢做题，尤其是裸题。他现在有一个二维盒子和一些二维三角形，这个盒子拥有无限的高度和L的宽度。而且他的三角形也都是一些锐角三角形或者是直角三角形。现在小J想把这些三角形放入盒子里，由于小J从txt大神犇那里学会了魔法，所以小J的三角形既可以无视盒子边界又可以重叠放置，但是必须有一条边紧贴盒子底面所在的直线。

现在小J想要最大化在盒子中的被三角形覆盖的区域的面积（即三角形间的重叠部分只算一遍），请问这个最大值应该是多少？

【输入格式】

一行一个整数T，代表数据组数。下面T部分，每部分第一行两个整数N,L分别代表三角形数量与盒子的宽度。下面N行每行三个整数ai,bi,ci表示三角形i的三条边长。

【输出格式】

T行，每行一个实数代表盒子内部被三角形覆盖的区域的面积的最大值。

T2:数三角形

Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4×4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76

数据范围
1<=m,n<=1000

T3:树上三角形

Description

给定一大小为n的有点权树，每次询问一对点(u,v)，问是否能在u到v的简单路径上取三个点权，以这三个权值为边长构成一个三角形。同时还支持单点修改。

Input

第一行两个整数n、q表示树的点数和操作数

第二行n个整数表示n个点的点权

以下n-1行，每行2个整数a、b，表示a是b的父亲（以1为根的情况下）

以下q行，每行3个整数t、a、b

若t=0，则询问(a,b)

若t=1，则将点a的点权修改为b

Output

对每个询问输出一行表示答案，“Y”表示有解，“N”表示无解。

Sample Input

5 5
1 2 3 4 5
1 2
2 3
3 4
1 5
0 1 3
0 4 5
1 1 4
0 2 5
0 2 3

Sample Output

N
Y
Y
N

HINT

对于100%的数据，n,q<=100000，点权范围[1,2^31-1]

附加题:同名"数三角形"

Description

在一只大灰狼偷偷潜入Farmer Don的牛群被群牛发现后，贝西现在不得不履行着她站岗的职责。从她的守卫塔向下瞭望简直就是一件烦透了的事情。她决定做一些开发智力的小练习，防止她睡着了。想象牧场是一个X，Y平面的网格。她将N只奶牛标记为1…N (1 <= N <= 100,000)，每只奶牛的坐标为X_i,Y_i (-100,000 <= X_i <= 100,000;-100,000 <= Y_i <= 100,000; 1 <= i <=N)。然后她脑海里想象着所有可能由奶牛构成的三角形。如果一个三角形完全包含了原点(0,0)，那么她称这个三角形为“黄金三角形”。原点不会落在任何一对奶牛的连线上。另外，不会有奶牛在原点。给出奶牛的坐标，计算出有多少个“黄金三角形”。顺便解释一下样例，考虑五只牛，坐标分别为(-5,0), (0,2), (11,2), (-11,-6), (11,-5)。下图是由贝西视角所绘出的图示。 

Input

第一行:一个整数: N 第2到第N+1行: 每行两个整数X_i，Y_i，表示每只牛的坐标

Output

* 第一行: 一行包括一个整数，表示“黄金三角形的数量”

Sample Input

5
-5 0
0 2
11 2
-11 -6
11 -5

Sample Output

5

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T1:

对于一个三角形，可以用微积分的思想把它看成许多线段，然后最大面积肯定就是线段又大到小地把宽度排满

由于线段长度是连续的，不是离散的，所以最后如果线段最小值为k，那么高度大于等于k的部分一定会被选

放到一个三角形中，高度大于等于k的部分也对应一个宽度，把所有的宽度加起来如果正好等于L的话，那么一定就是最优解。

由于存在EPS，我们可以用二分答案

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define MAXN 100005
#define EPS 1e-5
using namespace std;
double a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN];
double S[MAXN],H[MAXN];
int n;
double LL;
bool cal(double h){
    double ret=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(H[i]>h){
            ret+=(H[i]-h)*a[i]/H[i];
        }
    }
    return (ret<=LL);
}
void solve(){
    scanf("%d%lf",&n,&LL);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf%lf%lf",&a[i],&b[i],&c[i]);
        if(b[i]>c[i]){
            swap(b[i],c[i]);
        }
        if(a[i]>b[i]){
            swap(a[i],b[i]);
        }
        double p=(a[i]+b[i]+c[i])/2.0;
        S[i]=sqrt(p*(p-a[i])*(p-b[i])*(p-c[i]));
        H[i]=S[i]*2/a[i];
    }
    double L=0,R=1000000;
    double mid;
    while(L+EPS<R){
        mid=(L+R)/2.0;
        if(cal(mid)){
            R=mid;
        }
        else{
            L=mid;
        }
    }
    double ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(H[i]>L){
            ans+=(H[i]-L)*a[i]/H[i]*(H[i]-L)/2.0;
        }
    }
    ans+=L*LL;
    printf("%.6f\n",ans);
    
}
int main()
{
    freopen("sbtg10.in","r",stdin);
    freopen("sbtg.out","w",stdout);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    for(int i=1;i<=T;i++){
        solve();
    }
    return 0;
}

---

T2:

用组合数学的知识，先把所有的情况算出来，然后减去共线的情况即可

注意斜的用gcd算，不能用组合数了

还有就是注意不重不漏

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define MAXN 1005005
#define ll long long
using namespace std;
ll C[MAXN][4];
int g[1005][1005];
int Gcd(int x,int y){
    if(g[x][y]){
        return g[x][y];
    }
    return g[x][y]=((y==0)?x:Gcd(y,x%y));
}
void make(){
    for(int i=0;i<MAXN;i++){
        C[i][0]=1;
    }
    for(int i=1;i<MAXN;i++){
        for(int j=1;j<=3;j++){
            C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
        }
    }
}
int n,m;
int main()
{
    make();
    ll ans=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    n++;m++;
    ans+=C[n*m][3];
    ans-=C[n][3]*m;
    ans-=C[m][3]*n;
    ///!!!
    for(int i=2;i<=m;i++){
        for(int j=2;j<=n;j++){
            int t=Gcd(i-1,j-1)-1;
            ans-=t*(m-i+1)*(n-j+1)*2;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
} 

---

T3:

这题好坑啊

设树链上的节点为a1,a2,a3,……,an

排一下序发现：

如果存在ai+ai+1>ai+2 那么就可以构成三角形了

即较小的两条边大于最大的边

然后考虑一下，如果出题目的人很变态，故意想卡你，使得这个数列尽可能多，但偏偏构成不了三角形(QAQ)

那么肯定是1 1 2 3 5 8 13 ……

斐波拉契数列，然后第50项就炸int了，由于数据又在int范围内，所以当节点数目超过50个时，再想卡你也卡不了，一定可以构成三角形

对于小于50的，直接暴力即可

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define MAXN 100005
#define ll long long
using namespace std;
int v[MAXN];
int first[MAXN],Next[MAXN*2],to[MAXN*2],cnt;
int dep[MAXN],fa[MAXN];
int q[MAXN],top;
//double edge
int read(){
    int ret=0;
    char c=getchar();
    do{
        ret=ret*10+c-'0';
        c=getchar();
    }while('0'<=c&&c<='9');
    return ret;
}
void Add(int x,int y){
    Next[++cnt]=first[x];first[x]=cnt;to[cnt]=y;
    Next[++cnt]=first[y];first[y]=cnt;to[cnt]=x;
}
int n;
void dfs(int x){
    for(int e=first[x];e;e=Next[e]){
        int y=to[e];
        if(y==fa[x]){
            continue;
        }
        fa[y]=x;
        dep[y]=dep[x]+1;
        dfs(y);
    }
}
int main()
{
//    freopen("sdtg2.in","r",stdin);
//    freopen("my.out","w",stdout);
    int T;
    scanf("%d%d",&n,&T);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&v[i]);
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        Add(x,y);
    }
    dfs(1);
    for(int i=1;i<=T;i++){
        int k,x,y;
        scanf("%d%d%d",&k,&x,&y);
        if(!k){
            top=0;
            while(top<=50){
                if(dep[x]<dep[y]){
                    swap(x,y);
                }
                q[++top]=v[x];
                if(x==y){
                    break;
                }
                x=fa[x];
            }
            if(top>50){
                printf("Y\n");
            }
            else{
                int ok=0;
                sort(q+1,q+top+1);
                for(int i=1;i<=top-2;i++){
                    if((ll)q[i]+q[i+1]>q[i+2]){
                        ok=1;
                        printf("Y\n");
                        break;
                    }
                }
                if(!ok){
                    printf("N\n");    
                }
            }
        }
        else{
            v[x]=y;
        }
    }
    return 0;
}

---

附加题:

这是一道平面扫描的题目

先正难则反，找非黄金三角形

按角度排序之后，对于每个点i，与原点做一条直线，然后同在直线一侧的肯定是非黄金三角形，这样用组合数就可以计算了

我们只需要考虑左侧，因为后面的点考虑左侧时会正好可以补上，做到不重不漏

顺便说一下，向量a,b的叉积大于等于0(即a.x*b.y-a.y*b.x>=0)表示b在a的左边

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define MAXN 100005
#define ll long long
using namespace std;
struct Point{
    ll x,y;
    double angle;
    Point(){
        x=y=0;
        angle=0;
    }
    friend bool operator < (const Point &p1,const Point &p2){
        return (p1.angle<p2.angle);
    }
    friend bool operator > (const Point &p1,const Point &p2){
        return !(p1<p2);
    }
    friend ll operator * (const Point &p1,const Point &p2){
        return (p1.x*p2.y-p2.x*p1.y);
    }
}s[MAXN];
int n;
int main()
{
//    freopen("data.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld%lld",&s[i].x,&s[i].y);
        //atan222!!!
        s[i].angle=atan2((double)s[i].y,(double)s[i].x);
    }
    sort(s+1,s+n+1);
    int r=1,t=0;
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(r%n+1!=i&&s[i]*s[r%n+1]>=0){
            r++; t++;
        }
        ans+=(ll)t*(t-1)/2;
        t--;
    }
    printf("%lld\n",(ll)n*(n-1)*(n-2)/6-ans);
    return 0;
}

总结：还模版题，模版个鬼啊，这么难

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