[日常训练] 三角形

【问题描述】

一个三角形有n行，第i行有i个数，用v_ij表示。小Y选出一个子三角形，这个子三角形的最小边长为k(1 <= k <= 20, k <= n)。
小Y可以获得这个子三角形数字平均数（取下整）的金币。求最多金币数。
[日常训练] 三角形

【输入格式】

第1行，两个整数n和k。
第2到n+1行，三角形。

【输出格式】

1行1个整数，最多可以获得的金币。

【输入样例】

3 2
5
-8 4
2 -3 6

【输出样例】

【数据范围与约定】

对于50%的数据：n <= 20。
对于100%的数据：n <= 700。

【分析】模拟 + 优化

首先我们考虑枚举子三角形的顶点（当然顶点既可能在子三角形的最上方，也可能在最下方），然后枚举子三角形的边长，计算子三角形中每一层数的和
这里每一层数的和可以预处理其前缀和，然后在枚举中 O(1) 得到，那么总的时间复杂度大概也就是 O(n3) ，显然是过不去的。
考虑怎么优化：我们发现边长大等于 2k 的三角形，实际上可以拆分成若干个边长为 k ~ 2k−1 的三角形。
如下图所示。当边长为 2k 时，此三角形可以拆分成四个边长为 k 的小三角形。
我们记第 i 个小三角形内数的平均数为 ai ，数的个数为 bi ，则通过此三角形所能获得的金币数为 ∑ai×bi∑bi ，那么肯定存在一个或多个小三角形它的 ai≥∑ai×bi∑bi ，也就是说在往下计算边长为 2k ~ n 的子三角形实际上是没有必要的，最终的时间复杂度即为 O(n2k)
本题可在洛谷上提交：https://www.luogu.org/problem/show?pid=3016

【代码】

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 705;
ll Ans = -1e15, a[N][N];
int n, d;

inline void CkMax(ll &x, const ll &y) {if (x < y) x = y;}

inline int get()
{
char ch; int res = 0; bool f = false;
while (((ch = getchar()) < '0' || ch > '9') && ch != '-');
if (ch == '-') f = true;
else res = ch - '0';
while ((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9')
     res = (res << 3) + (res << 1) + ch - '0';
return f ? -res : res;
}

inline void put(ll x)
{
if (x < 0) 
     x = -x, putchar('-');
if (x > 9) put(x / 10);
putchar(x % 10 + 48);
}

int main()
{
    n = get(); d = get();
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= i; ++j)
      a[i][j] = a[i][j - 1] + get();
    ll res, num;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= i; ++j)
     {
         res = num = 0ll;
for (int k = 1; k <= (d << 1); ++k)
         {
int tx = i + k - 1, ty = j + k - 1;
if (tx > n || ty > tx) break;
             res += a[tx][ty] - a[tx][j - 1]; num += k;
if (k >= d) CkMax(Ans, res / num);
        }
        res = num = 0ll;
for (int k = 1; k <= (d << 1); ++k)
        {
int tx = i - k + 1, ty = j - k + 1;
if (tx < 1 || ty < 1 || j > tx) break;
            res += a[tx][j] - a[tx][ty - 1]; num += k;
if (k >= d) CkMax(Ans, res / num);
        }
     }
return put(Ans), 0;
}

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