3. 二维及三维热传导方程推导：从积分角度推导，得到泊松方程和拉普拉斯方程
4. 拉普拉斯算子的各种形式：在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下推导拉普拉斯算子形式
偏微分方程（PDE）就是指含有偏导数的数学方程。 本书从物理问题开始研究偏微分方程，便于读者与实际结合。首先讲解的是热传导方程： 1. 推导一维杆的热传导方程 讲解了两种方式：微分的观念，从一个小的薄片的能量守恒推导，通过取极限的方式得到热传导方程
另外一种，从积分角度考虑，利用积分基本定理，这种方式更加精确，避免了极限过程的近似计算。
2. 初值和边界条件：关于时间变量的称为初值条件，是时间变量的几阶导数就要几个初值条件。关于空间变量的称为边界条件。边界条件有三类： 给定温度
给定温度变化率 
给定温度温度变化率与分布的函数关系
3. 二维及三维热传导方程推导从积分角度进行推导，根据能量守恒
根据高斯定理，把曲面积分转换为三重积分，整理上式得到：（注意把时间作为偏导数放入积分中）
因此：
又根据傅里叶导热定律：
稳态：如果边界条件和热源都与时间无关，在恒定热性质的情形，平衡温度分布将满足：
该方程称为泊松方程。如果热源不存在，泊松方程变为：
即温度分布的拉普拉斯算子是零，因此称为拉普拉斯方程。二维方程的推导与三维一致，只是使用面积分代替体积分，使用格林公式代替高斯公式。 4. 拉普拉斯算子的各种形式在直角坐标系下：
在柱面坐标系下有：
下面证明在柱面坐标系下的拉普拉斯公式：考虑二维下的柱面坐标，即极坐标：可以证明：
利用链式法则：
以上可以得到柱坐标下的拉普拉斯算子公式：
在这个公式中，需要注意的是：在拉普拉斯算子中的每一项都有u的量纲被两个空间量纲除。因为角度是用弧度测量的，没有量纲，因此，对角度的微分需要除以半径的平方。通过以上思路可以证明球坐标的公式：
<wiz_tmp_tag id="wiz-table-range-border" contenteditable="false" style="display: none;">