1485 [HNOI2009] 有趣的数列题解

【原题】

1485: [HNOI2009]有趣的数列

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Description

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

(2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

(3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

3 10

Sample Output

5

对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）

【转化】就是求卡特兰数。

【初始代码】

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll prime[200005],a[200005];
bool f[2000005];
ll temp,n,p,i,j,cnt,mod;
ll pow(ll a,ll b)
{
  ll ans;
  for (ans=1;b;b>>=1,a=a*a%mod) 
    if (b&1) ans=ans*a%mod;
  return ans;
}
int main()
{
  scanf("%lld%lld",&n,&mod);
  for (i=2;i<=n*2;i++)
  {
    if (!f[i]) prime[++cnt]=i;
    for (j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n*2;j++)
      f[prime[j]*i]=true;
  }
  for (i=n+2;i<=n*2;i++)
    for (j=1,p=i;j<=cnt&&p;j++)
      while (p%prime[j]==0) a[j]++,p/=prime[j];
  for (i=2;i<=n;i++)
    for (j=1,p=i;j<=cnt&&p;j++)
      while (p%prime[j]==0) a[j]--,p/=prime[j];
  temp=1;
  for (j=1;j<=cnt;j++)
    if (a[j]) temp=(temp*pow(prime[j],a[j]))%mod;
  printf("%lld",temp);for (;;);
  return 0;
}

用欧拉筛法，O（n）的效率求出每个质数。然后枚举阶乘，像质数表一样把一个数给分解。但是效率很低。

【优化1】如果一个数是合数，我们可以把它的某个因子记下来。然后我们同样从开始枚举阶乘，而且是倒着枚举。对于每个数，如果它是合数，我就把它分解。比如，设f[n]为结果中含有n因子的个数。u是n的一个约数。那么我们可以f[u]+=f[n],f[n/u]+=f[n]。这样就不用多次用快速幂了。直到n是质数为止。

【优化2】开始可以把1--n的f[i]设为-1，把n+2--2*n(注意，最后要除n+1,所以从n+2开始)的f[i]设为1.这样只需1次循环。

【AC代码】

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll prime[200005],a[2000005],come[2000005];
ll temp,n,p,i,j,cnt,mod;
ll pow(ll a,ll b)
{
  ll ans;
  for (ans=1;b;b=b/2,a=a*a%mod) 
    if (b&1) ans=ans*a%mod;
  return ans;
}
int main()
{
  scanf("%lld%lld",&n,&mod);
  for (i=2;i<=n*2;i++)
  {
    if (!come[i]) prime[++cnt]=i;   
    for (j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n*2;j++)
      come[prime[j]*i]=i;
  }
  temp=1;
  for (i=2;i<=n;i++) a[i]=-1;
  for (i=n+2;i<=2*n;i++) a[i]=1;
  for (i=n*2;i>1;i--)
    if (come[i])
    {
      a[come[i]]+=a[i];
      a[i/come[i]]+=a[i];
    }
    else
      temp=temp*pow(i,a[i])%mod;

  printf("%lld",temp);
  return 0;
}

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