[SCOI2014]方伯伯的玉米田 题解(树状数组优化dp)

Description

方伯伯在自己的农田边散步，他突然发现田里的一排玉米非常的不美。
这排玉米一共有N株，它们的高度参差不齐。
方伯伯认为单调不下降序列很美，所以他决定先把一些玉米拔高，再把破坏美感的玉米拔除掉，使得剩下的玉米的高度构成一个单调不下降序列。
方伯伯可以选择一个区间，把这个区间的玉米全部拔高1单位高度，他可以进行最多K次这样的操作。拔玉米则可以随意选择一个集合的玉米拔掉。
问能最多剩多少株玉米，来构成一排美丽的玉米。

Input

第1行包含2个整数n，K，分别表示这排玉米的数目以及最多可进行多少次操作。
第2行包含n个整数，第i个数表示这排玉米，从左到右第i株玉米的高度ai。

Output

输出1个整数，最多剩下的玉米数。

Sample Input

3 1
2 1 3

Sample Output

3

HINT

1 < N < 10000，1 < K ≤ 500，1 ≤ ai ≤5000

 

结论：把每次揠苗操作的右端点都设为n一定最优

感性理解：如果右端点不是n，那么后面的元素相对与前面的元素就下降了多个单位，最终因低于前面元素而被删除，不能最优。

设$dp[i][j]$为到第i个位置拔了j次的最大长度，易得转移为：

$dp[i][j]=max\left\{dp[k][p]+1\right\}，a[k]+p \le a[i]+j，p \le j，k<i$

如果暴力枚举转移的话复杂度为$O(n^2 k^2)$，显然不可接受

我们其实只需要找满足条件的最大的$dp[k][p]$,开一个权值树状数组边查询边更新就好了

不要忘了树状数组下标不能为0，更新时需要把j+1

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=10005;
int n,K,a[N],maxx;
int c[N][N];
int dp[N][1005],ans;
int lb(int x)
{
    return x&-x;
}
void update(int x,int y,int val)
{
    for(int i=x;i<=maxx;i+=lb(i))
        for(int j=y;j<=K+1;j+=lb(j))
            c[i][j]=max(c[i][j],val);
}
int query(int x,int y)
{
    int res=0;
    for(int i=x;i;i-=lb(i))
        for(int j=y;j;j-=lb(j))
            res=max(res,c[i][j]);
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&K);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]),maxx=max(maxx,a[i]);
    maxx+=K;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=K;j>=0;j--)
        {
            dp[i][j]=query(a[i]+j,j+1)+1;
            update(a[i]+j,j+1,dp[i][j]);
            ans=max(ans,dp[i][j]);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}