Description
方伯伯有一天去参加一个商场举办的游戏。商场派了一些工作人员排成一行。每个人面前有几堆石子。说来也巧,位置在 i 的人面前的第 j 堆的石子的数量,刚好是 i 写成 K 进制后的第 j 位。
现在方伯伯要玩一个游戏,商场会给方伯伯两个整数 L,R。方伯伯要把位置在 [L, R] 中的每个人的石子都合并成一堆石子。每次操作,他可以选择一个人面前的两堆石子,将其中的一堆中的某些石子移动到另一堆,代价是移动的石子数量 * 移动的距离。商场承诺,方伯伯只要完成任务,就给他一些椰子,代价越小,给他的椰子越多。所以方伯伯很着急,想请你告诉他最少的代价是多少。
例如:10 进制下的位置在 12312 的人,合并石子的最少代价为:
1 * 2 + 2 * 1 + 3 * 0 + 1 * 1 + 2 * 2 = 9
即把所有的石子都合并在第三堆
Input
输入仅有 1 行,包含 3 个用空格分隔的整数 L,R,K,表示商场给方伯伯的 2 个整数,以及进制数
Output
输出仅有 1 行,包含 1 个整数,表示最少的代价。
Sample Input
3 8 3
Sample Output
5
HINT
1 < = L < = R < = 10^15, 2 < = K < = 20
解题思路:
感觉自己学了假的数位dp。
不妨先算全挪到第一位的概率,这个很好算,f[pos][sum]表示到第pos位,花费为sum的方案数,如果当前位为j,很明显将会有对sum有j*(pos-1)的贡献,转移即可。
注意到对于一个数字,集结点从1~i的花费为一个单峰函数,比如集结点从i转移到i+1,花费将会加上i左边的数字和,减去i右边的数字和,那么我们就从2~i枚举集结点,计算这些数字集结点从i-1转移到i所减少的贡献,还是用f[pos][sum],只有最后sum>0才加即可。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int k,num[60];
ll l,r,len,f[60][1200][2];
ll dfs1(int pos,int sum,bool lim)
{
if(pos>len)return sum;
if(f[pos][sum][lim]!=-1)return f[pos][sum][lim];
ll res=0;int end=(lim?num[pos]:k-1);
for(int i=0;i<=end;i++)
res+=dfs1(pos+1,sum+i*(pos-1),lim&&(i==end));
return f[pos][sum][lim]=res;
}
ll dfs2(int pos,int sum,int m,bool lim)
{
if(pos>len)return max(sum,0);
if(f[pos][sum][lim]!=-1)return f[pos][sum][lim];
ll res=0;int end=(lim?num[pos]:k-1);
for(int i=0;i<=end;i++)
res+=dfs2(pos+1,sum+(pos<m?-i:i),m,lim&&(i==end));
return f[pos][sum][lim]=res;
}
ll solve(ll n)
{
len=0;
while(n)num[++len]=n%k,n/=k;
reverse(num+1,num+len+1);
memset(f,-1,sizeof(f));
ll res=dfs1(1,0,1);
for(int i=2;i<=len;i++)
{
memset(f,-1,sizeof(f));
res-=dfs2(1,0,i,1);
}
return res;
}
int main()
{
//freopen("lx.in","r",stdin);
scanf("%lld%lld%d",&l,&r,&k);
cout<<solve(r)-solve(l-1);
return 0;
}