此文实际上是读论文《Collaborative Deep Learning for RecommenderSystem》的读书笔记。这一篇论文出自香港理工大学王灏博士，论文讲了一种紧耦合的混合式推荐算法。主要是栈式自编码器sdae和CTR通过贝叶斯图方式结合。
1. 概述
当前推荐算法主要是基于内容（CB）、协同过滤（CF）、混合算法。基于内容的推荐依靠用户profile和item的描述做推荐。CF基于过去的的表现和行为推荐。由于种种原因，收集过去的行为比收集用户画像要容易，但CF又有他的局限性，当打分（rating）很稀疏时，预测精度会下降很厉害，同时，新产品的冷启动也是CF的问题。因此，近年来，混合方法应用比较广。
混合方法又分两种：松耦合方式、紧耦合方式。松耦合方式先处理辅助信息，然后，用它为CF提供特征。由于信息的流向是单向的，打分信息无法反馈回来去提取有用的特征。这种方式下，为了提升性能，通常依赖人工提取特征。紧耦合方式，两种方法相互影响，一方面，打分信息指导特征的提取，另一方面，提取出来的特征进一步促进CF的预测能力（例如，稀疏打分矩阵的矩阵因式分解）。两方面的相互影响，使得紧耦合方式可以从辅助信息中自动学习特征，并且能平衡打分信息和辅助信息的影响。这也是紧耦合方法比松耦合方法表现更好的原因。
协同话题回归（CTR）是当下被推崇的紧耦合方法。它是一个整合了Topic model，LDA，CF，概率矩阵分解（PMF）的概率图模型。
CTR能生成可靠，且可判断的结果，即是辅助信息很松散也不会影响结果。
论文讲述了一种多层贝叶斯模型（hierarchical Bayesian model）叫协同深度学习（CDL）。实际上CDL就是把CRT模型和深度学习模型SDAE集合起来，形成一个多层贝叶斯模型。作者用贝叶斯法则表征栈式自编码器（sdae），用深度学习的方式表示content information和rating matrix，使两者双向相互影响。
SDAE在CDL中用于学习特征，实际上更多的深度学习模型可以用进来，如Deep Boltzmann machines,RNN, CNN.
2. 论文要点
(1). CDL可抽取content的深度特征，并捕获content或者user的相似度。这种学习方式不仅可以用于推荐，也可以用于别的地方。
(2). 学习目标不是简单的分类或者reconstruction，本文的目标是通过概率框架用CF做一个更复杂的目标。
(3). 用了最大后验估计(MAP)，CDL贝叶斯法则的抽样，贝叶斯版本的反向传播。
(4). 用贝叶斯模型连接DL和RS。3. 模型推导
模型如图1， 下图中，矩阵Xc扮演的角色是SDAE干净的输入，X0作为加入了噪声的输入矩阵，X1至Xl表示sdae中间各层。SDAE的输出层是Xl，W+是W和b表示权重和偏执。
图1
左边的贝叶斯图的目的是通过内容生成V矩阵，用户信息生成u矩阵，然后通过v和u生成user-item的关联打分矩阵R。这其实就是普通的推荐方法，只是这里，内容通过sdae自动提取特征，这些特征作用于v矩阵。具体推导过程如下：
(1). Sdae在前面的文章中已经写过了，这里不赘述。它的优化目标：
图2
2. 推广Bayesian SDAE，其中，干净输入Xc和噪声X0都是可观察的。
图3
当
趋近于无穷大时，式(1)中的高斯分布变成Dirac delta分布中心点在
，其中，是sigmoid函数。模型会退化成一个SDAE高斯公式。因此，我们叫他推广Bayesian SDAE.
要注意的是前L/2 层网络扮演encoder，后L/2层网络扮演decoder。当权重延迟纳入考虑，最大后验概率等同于最小化重建误差。
3. CDL
用Bayesian SDAE作为成分，组成CDL的过程如下：
图4
是寄生参数，Cij是置信度参数。中间层
充当rating和content的桥梁。带有主题偏执
的中间层是开启学习特征和捕获相似度的钥匙。如同推广SDAE中，这里也可以让
趋于无穷大。
当
趋近于正无穷，CDL的网络就如上面的图1所示。
4. 最大后验估计
基于CDL，所有参数可以被看做随机变量，fully Bayesian方法，例如，markov chain Monte Carlo 等可以用到这里，只是这些的计算代价比较高。综合考虑，EM-style法则用于获得MAP估计。
最大后验概率等同于
给出后对U、V、
、
做大对数似然估计：
图5.
其中，encoder函数表示为
，以加入噪音的内容向量
为输入计算item的encoding，函数
也是以
为输入，计算encoding，然后重建item向量。如果网络有6层的话，
是第3层的输出，
是第6层的输出。
趋于正无穷大时，训练图1可以分裂成训练2个相似的神经网络，这两个网络有公共的输入，但输出不同。这样，网络可以演化成图6所示的网络，第一个网络输出干净数据，第二个网络输出item的打分矩阵。
图6
比率
有两种极端，(1)当这个比率趋近于正无穷时，整个系统将退化成一个两步式的模型，在这个模型中SDAE学习到的主题表示会直接被放入CTR中。(2)当比率趋近于0时，SDAE的decoder部分将消失，整个系统变成图7所示的图模型。
图7
当U和V给定，用反向传播方式学习每层的W和b。W和b的梯度表示如下：
图8