scheme 之门

scheme 之门

开始之前

这是一篇 Scheme 的介绍文章. Scheme 是一个 LISP 的方言, 相对于 Common LISP 或其他方言, 它更强调理论的完整和优美, 而不那么强调实用价值. 我在 学习 Scheme 的时候, 常想的不是 "这有什么用", 而是 "为什么" 和 "它 的本质是什么". 我觉得这样的思考对学习计算机是非常有益的.

我不知道 "Scheme 之道" 这个题目是否合适, 我还没到能讲 "XXX 之道" 的时候. 但 Scheme 确实是一个极具哲学趣味的语言, 它往往专注于找出事物的 本质, 用最简单, 最通用的方法解决问题. 这样的思路下, 我们会碰到许多以往 不会遇到, 或不甚留意的问题, 使我们对这些问题, 以及计算机科学的其他方面 有新的认识和思考.

讲 Scheme 的好书有很多, 但 Scheme 在这些书中往往就像指着月亮的慧能的手 指或是道家的拂尘, 指引你发现计算机科学中的某些奇妙之处, 但 Scheme 本身 却不是重点. 如SICP (Structure and Interpretation of Computer Programs) 用 Scheme 来指引学生学习计算机科学中的基本概念; HTDP (How to design programs) 用Scheme 来介绍程序设计中常用的技巧和方法. 而这篇文章, 着眼点 也不是scheme 本身, 或者着眼点不在 scheme 的 "形", 而在与 scheme 的 "神". 怎么写一个好的 scheme 程序不是我的重点, 我的重点是 "这个设计真 美妙", "原来本质就是如此", 如是而已. Scheme 的一些理论和设计启发了我 , 使我在一些问题, 一些项目上有了更好的想法. 感念至今, 所以写一系列小文 将我的体会与大家分享.

要体验 Scheme, 当然首先要一个 Scheme 的编程环境. 我推荐 drScheme (http://www.drscheme.org), 跨平台, 包括了一个很好的编辑和调试界面 . Debian/Ubuntu 用户直接 apt-get 安装即可.

希望读者有基本的编程和数据结构知识. 因为解释 Scheme 的很多概念时, 这些 知识是必须的.

数据结构的本质论

世界的终极问题

这两个可能是人类对世界认识的终极问题: 世界上最基本的, 不可再分的物质单 位是什么? 这些最基本的物质单位是怎么组成这个大千世界的?

Scheme 也在试图解答这个问题.

Scheme 认为以下两种东西是原子性的, 不可再分的: 数, 符号. 数这个好理解, 符号这个概念就有点麻烦了. 做个比方, "1" 是一个数字, 但它其实是一个符 号, 我们用这个符号去代表 "1" 这个概念, 我们也可以用 "一" 或 "one" 代表这个概念, 当然 "1" 也可以表示 "真" 的概念, 或者什么都 不表示. 而 kyhpudding 也是一个 Scheme 中的符号, 它可以代表任何东西, Scheme 能理解的或不能理解的. 这都没所谓, Scheme 把它作为一个原子单位对 它进行处理: 1 能跟其他数字作运算得出一个新的数字, 但 1 始终还是 1, 它 不会被分解或变成其他什么东西, 作为符号的 kyhpudding 也大抵如此.

下一个问题是: 怎么将原子组成各种复合的数据结构 --- 有没有一种统一的方 法?

我们从最简单的问题开始: 怎么将两个对象聚合在一起? 于是我们引入了 "对 " (pair) 的概念, 用以聚合两个对象: a 和 b 组成的对, 记为:

(a . b)

画图

(a . b) - b

 |  

a

请大家将头往左侧 45 度, 这其实就是一个二叉树.

如果是要聚合三个或以上的数据呢? pair 的方法还适用吗? 我们是否需要引入 其他方法? 答案是不需要, 我们递归地使用 pair 结构就可以了. 聚合 a, b, c, 记为 (a . (b . c)), 它的简化记法是 (a b . c).

大家都能想到了, 递归地使用 pair 二叉树的结构, 就能表达任意多个对象组成 的序列. 比如 (a b . c), 画图就是:

(a b . c) - (b . c) - c

 |           |

 a           b

请大家继续将头左侧 45 度. 这样的一个表示序列的树的特点是, 树的左结点是 成员对象, 右结点指向一颗包含其他成员的子树. 但大家也发现了一个破例: 图 中的 c 是右边的叶子. 解决这个问题的办法是: 我们引入一个 "无" 的概念:

(a b c . nil) - (b c . nil) - (c . nil) - nil

 |               |             |

 a               b             c

这个无的概念我们用 "()" 来表达 (总不能什么都没有吧). 记 (a . ()) 为 (a). 那么上图就可以表示为 (a b c). 这样的结构我们就叫做列表 --- List. 这是 Scheme/LISP 中应用最广的概念. LISP 其实就是 "LISt Processing" 的意思.

这样的结构表达能力很强, 因为它是可递归的, 它可以表达任何东西. 比方说, 一个普通的二叉树可以像这样表示 (根 (根 左子树 右子树) 右子树). 大家也 可以想想其他的数据结构怎么用这种递归的列表来表示.

开始编程啦

好了, 我们可以开始写一点很简单的 Scheme 程序. 比方说, 打入 1, 它就会返 回 1. 然后, 打入一个列表 (1 2), 出错鸟... 打入一个符号: kyhpudding, 也 出错鸟......

于是我们就要开始讲一点点 Scheme 的运作原理了. 刚才我们讲了 Scheme 中的 数据结构, 其实不但是 Scheme 处理的数据, 整个 Scheme 程序都是由这样的列 表和原子对象构成的, 一个合法的 Scheme 数据结构就是一个 Scheme 语句. 那 么这样的语句是怎么运行的呢? 总结起来就是三条逻辑:

1. 如果那是一个数, 则返回这个数
2. 如果那是一个符号, 则返回该符号所绑定的对象. (这个概念我们会迟点解释)
3. 如果那是一个列表, 把列表的第一项作为方法, 其他作为参数, 执行之.

所以, 我们可以试试这个 (+ 1 2), 这下就能正确执行了.

那么, 如果我就想要他返回 (+ 1 2) 这个列表呢? 试试这样 (quote (+ 1 2)) quote 是一个很特殊的操作, 意思是它的参数不按规则处理, 而是直接作为数据 返回. 我们会常常用到它, 所以也有一个简化的写法 '(+ 1 2), 在前面加一个 单引号就可以了. 这样子, 'kyhpudding 也能有正确的输出了.

那么我们可以介绍三个原子操作, 用以操纵列表. 其实, 所谓操纵列表, 也只是 操纵二叉树而已. 所以我们有这么三个操作:

• cons: 将它的两个参数组合起来, 形成新的二叉树/pair
• car: 返回参数的左子树
• cdr: 返回参数的右子树

通过以下几个操作, 结合对应的二叉树图, 能比较好的理解这个 Scheme 最基础 的设计:

(cons 'a (cons 'b '()))

(car '(a b c))

(cdr '(a b c))

无处不在的函数

基本的函数概念

Scheme 是一门函数式语言, 因为它的函数与数据有完全平等的地位, 它可以在 运行时被实时创建和修改. 也因为它的全部运行都可以用函数的方式来解释, 莫 能例外.

比方说, 把 if 语句作为函数来解释? (if cond if-part else-part) 是这么一 个特殊的函数: 它根据 cond 是否为真, 决定执行并返回 if-part 还是 else-part. 比如, 我可以这样写:

((if (i-am-feeling-lucky) + -) my-happyness 1)

if 函数会根据我开心与否 (i-am-feeling-lucky 是一个由我决定它的返回值的 函数 :P) 返回 + 或 - 来作为对我的开心值的操作. 所谓无处不在的函数, 其 意义大抵如此.

把一串操作序列当成函数呢? Scheme 是没有 "return" 的, 把一串操作序列 当作一个整体, 它的返回值就是这一串序列的最后一个的返回值. 比如我们可以 写

(begin (+ 1 2) (+ 3 4))

它的返回是 7.

无名的能量之源

接下来, 我们就要接触到 Scheme 的灵魂 --- Lambda. 大家可以注意到 drScheme 的图标, 那就是希腊字母 Lambda. 可以说明 Lambda 运算在 Scheme 中是多么重要.

NOTE: 这里本来应该插一点 Lambda 运算的知识的, 但是一来我自己数学就不怎 么好没什么信心能讲好, 二来讲太深了也没有必要. 大家如果对 Lambda 运算的 理论有兴趣的话, 可以自行 Google 相关资料.

Lambda 能够返回一个匿名的函数. 在这里需要注意两点: 第一, 我用的是 "返 回" 而不是 "定义". 因为 Lambda 同样可以看成一个函数 --- 一个能够生 成函数的函数. 第二, 它是匿名的, 意思是, 一个函数并不一定需要与一个名字 绑定在一起, 我们有时侯需要这么干, 但也有很多时候不需要.

我们可以看一个 Lambda 函数的基本例子:

((lambda (x y) (+ x y)) 1 2)

这里描述了一个加法函数的生成和使用. (lambda (x y) (+ x y)) 中, lambda 的第一个参数说明了参数列表, 之后的描述了函数的行为. 这就生成了一个函数 , 我们再将 1 和 2 作用在这个函数上, 自然能得到结果 3.

我们先引入一个 define 的操作, define 的作用是将一个符号与一个对象绑定 起来. 比如

(define name 'kyhpudding)

之后再敲入 name, 这时候 Scheme 解释器就知道如何处理它了, 它会返回一个

kyhpudding.

我们自然也可以用 define 把一个符号和函数绑定在一起, 就得到了我们常用的 有名函数.

(define add

        (lambda (x y) (+ x y)))

做一个简单的替换, 上面的例子就可以写成 (add 1 2), 这样就好理解多了.

上面的写法有点晦涩, 而我们经常用到的是有名函数, 所以我们有一个简单的写 法, 我们把这一类简化的写法叫 "语法糖衣". 在前面我们也遇到一例, 将 (quote x) 写成 'x 的例子. 上面的定义, 我们可以这样写

(define (add x y) (+ x y))

Lambda 运算有极其强大的能力, 上面只不过是用它来做传统的 "定义函数" 的工作. 它的能力远不止如此. 这里只是举几个小小的例子:

我们经常会需要一些用于迭代的函数, 比如这个:

(define (inc x) (+ x 1))

我们也需要减的, 乘的, 还有其他各种乱七八糟的操作, 我们需要每次迭代不是 1, 而是 2, 等等等等. 我们很自然地有这个想法: 我们写个函数来生成这类迭 代函数如何? 在 Scheme 中, 利用 lambda 运算, 这是可行且非常简单的. 因为 在 Scheme 中, 函数跟普通对象是有同样地位的, 而 "定义" 函数的 lambda, 其实是能够动态地为我们创造并返回函数对象的. 所以我们可以这么写:

(define (make-iterator method step)

        (lambda (x) (method x step)))

没有语法糖衣的写法是:

(define make-iterator

        (lambda (method step)

                (lambda (x) (method x step))))

这个简单的例子, 已经能够完成我们在 C 之类的语言无法完成的事情. 要生成 上面的 inc 函数, 我们可以这么写:

(define inc (make-iterator + 1))

这个例子展示的是 Scheme 利用 Lambda 运算得到的能力. 利用它, 我们可以写 出制造函数的函数, 或者说制造机器的机器, 这极大地扩展了这门语言的能力 . 我们在以后会有更复杂的例子.

接下来, 我们会介绍 Scheme 的一些语言特性是怎么用 Lambda 运算实现的 --- 说 Scheme 的整个机制是由 Lambda 驱动的也不为过.

比如, 在 Scheme 中我们可以在任何地方定义 "局部变量", 我们可以这么写:

(let ((x 1) (y 2)) 运用这些局部变量的语句)

其实 let 也只不过是语法糖衣而已, 因为上面的写法等价于:

((lambda (x y)

         运用这些局部变量的语句)

1 2)

一些常用的函数

虽然说这篇文章不太注重语言的实用性. 但这里还是列出我们经常用到的一些操 作, 这能极大地方便我们的编程, 大家也可以想想他们是怎么实现的.

cond

相当于 C 中的 switch

(cond

(条件1 执行体)

(条件2 执行体)

(else 执行体))

循环语句

没有循环语句...... 至少没有必要的循环语句. Scheme 认为, 任何的循环迭代 都可以用递归来实现. 我们也不用担心递归会把栈占满, 因为 Scheme 会自动处 理尾递归的情况. 一个简单的 0 到 10 迭代可以写成这样.

(define (iterate x)

        (if (= x 10)

            x

            (iterate (+ x 1))))

(iterate 0)

很明显, 当我们递归调用 iterate 的时候, 我们不必保存当前的函数环境. 因 为我们递归调用完毕后就马上返回, 而不会再使用当前的环境, 这是一给尾递归 的例子. Scheme 能自动处理类似的情况甚至做一些优化, 不会浪费多余的空间, 也不会降低效率. 所以完全可以代替循环.

当然我们有些便于循环迭代的操作, 大家可以试试自己实现他们. (当然在解释 器内部通常不会用纯 scheme 语句实现他们). 我们最常用的是 map 操作

(map (lambda (x) (+ x 1)) '(1 2 3))

运行一下这个例子, 就能理解 map 的作用了.

更多的数据操作

• cadr cddr caddr 之类, 就是 car 和 cdr 的组合, 大家可以一个个试 . drScheme 支持到 cadddr...
• append: 将两个列表拼接在一起.

无始无终的太极

我想其他语言的入门教程都不会有这么一节: 这门语言的运作原理是怎么样的 . 但这么一节内容是 Scheme 的入门教程必有的. Scheme 把它最核心, 最底层 的机制都提供出来给用户使用, 使它有非常强大的能力. 所以知道它的运行机理 是非常重要的.

这一节和下一节都是在分析 Scheme 的运行原理. 在这一节中, 我们会用一个太 极图来分析一条 Scheme 语句是怎么被执行的. 在下一节, 我们会在这一节的基 础上引入 Scheme 的对象/内存管理机制. 从而得到一个比较完整的 Scheme 运 行原理, 并用 Scheme 语言表示出来.

我们先从 eval 和 apply 的用法说起. eval 接受一个参数, 结果是执行那个参 数的语句, 而 apply 则接受两个参数, 第一个参数表示一个函数, 第二个参数 是作用于这个函数的参数列表. 例如:

(eval '(+ 1 2))

(apply + '(1 2))

我们可以轻易发现, 这两者是可以轻易转化的:

(define (eval exp) (apply (car exp) (cdr exp)))

(define (apply method arguments) (eval (cons method arguments)))

但是显然, 真正的实现不可能如此, 不然 eval 一次就没完没了地转圈了. 我们 在前面提到 Scheme 的基本运行逻辑, 其实也是 eval 的基本原理:

1. 如果那是一个数, 则返回这个数
2. 如果那是一个符号, 则返回该符号所绑定的对象.
3. 如果那是一个列表, 把列表的第一项作为方法, 其他作为参数, 执行之.

我们来实现一个这样的逻辑, 要注意的是, 下面的 eval 和 apply 的写法都只 是说明概念, 并不是真实可运行的. 但用 Scheme 写一个 Scheme 解释器是确实 可行的:

(define (eval exp)

   (cond

    ((number? exp) exp)

    ((symbol? exp) 返回 exp 所指的对象)

    ((list? exp) (apply (eval (car exp)) (cdr exp)))

    (else 'error)))

在第三项, 我们很自然地用了 apply 来实现. 注意 apply 接受的第一个参数必 须是一个函数对象, 而不能是一个类似 add 的名字, 所以我们要递归地调用 eval 解析出它的第一个参数. 那么 apply 要怎么实现呢? 我们来看一个实例:

有定义: (define (add x y) (+ x y))

执行: (add x (+ y 1))

用 eval 执行它的时候, 会执行

(apply (lambda (x y) (+ x y)) '(x (+ y 1))).

在执行它的时候 , 为了运行它, 我们要知道 add 和 x 代表什么, 我们还得知道 (+ y 1) 的结果, 否则我们的计算无法继续下去. 我们用什么来求得这些值呢

--- 显然是eval. 因此 apply 的处理流程大致如下:

(define (apply method arguments)

   (执行 method (map eval arguments)))

我们得到的还是一个互相递归的关系. 不过这个递归是有尽头的, 当我们遇到原 子对象时, 在 eval 处就会直接返回, 而不会再进入这个递归. 所以 eval 和 apply 互相作用, 最终把程序解释成原子对象并得到结果. 这种循环不息的互相 作用, 可以表示为这样一个太极:

这就是一个 Scheme 解释器的核心.

然而, 我们上面的模型是不尽准确的. 比如, (if cond if-part else-part) 把 这个放入 apply 中的话, if-part 和 else-part 都会被执行一遍, 这显然不是 我们希望的. 因此, 我们需要有一些例外的逻辑来处理这些事情, 这个例外逻辑 通常会放在 eval. (当然理论上放在 apply 里也可以, 大家可以试一下写, 不 过这样在 eval 中也要有特殊的逻辑之处 "if" 这个符号所对应的值). 我们 可以把 eval 改成这样

(define (eval exp)

   (cond

    ((number? exp) exp)

    ((symbol? exp) 返回 exp 所指的对象)

    ((list? exp)

     (cond

      ((if? (car exp)) (if 的特殊处理 (cdr exp)))

      (还有其他的例如 quote, cond 的都得放在这里)

      (else (apply (eval (car exp)) (cdr exp)))))

    (else 'error)))

这样我们的逻辑就比较完整了.

另外 apply 也要做一些改动, 对于 apply 的 method, 它有可能是类似 "+" 这样的内置的 method, 我们叫它做 primitive-proceure, 还有由 lambda 定义 的 method, 他们的处理方法是不一样的.

(define (apply method arguments)

  (if (primitive-procedure? method)

      (处理内置函数 (map eval arguments))

      (处理 lambda (map eval arguments))

在下一节, 我们就会从 lambda 函数是怎么执行的讲起, 并再次修改 eval 和 apply 的定义, 使其更加完整. 在这里我们会提到一点点 lambda 函数的执行原 理, 这其实算是一个 trick 吧.

我们这样定义 lambda 函数

(lambda (参数表) 执行体)

那么我们在 apply 这个 lambda 函数的时候会发生什么呢? apply 会根据参数 表和参数做一次匹配, 比如, 参数表是 (x y) 参数是 (1 2), 那么 x 就是 1, y 就是 2. 那么, 我们的参数表写法其实可以非常灵活的, 可以试试这两个语句 的结果:

((lambda x x) 1 2)  <= 注意两个 x 都是没有括号的哦

((lambda (x . y) (list x y)) 1 2 3)

这样 "匹配" 的意义是否会更加清楚呢? 由于这样的机制, 再加上可以灵活运 用 eval 和 apply, 可以使 Scheme 的函数调用非常灵活, 也更加强大.

唯心主义的对象管理系统

关于对象

既然这一节我们要讲对象管理系统. 我们首先就要研究对象, 研究在 Scheme 内 部是如何表示一个对象. 在 Scheme 中, 我们的对象可以分成两类: 原子对象和 pair.

我们要用一种办法唯一地表示一个对象. 对原子对象, 这没什么好说的, 1 就是 1, 2 就是 2. 但是对 pair, 情况就比较复杂了.

(define a '(1 . 2))

(define b '(1 . 2))

如果我们修改了 a 的 car 的值, 我们不希望 b 的值也同样的被改变. 因此虽 然 a 和 b 在 define 时的值一样, 但他们不是相同的对象, 我们要分别表示他 们. 但是 在这个时候

(define a '(1 . 2))

(define b a)

a 和 b 应该指的是同一个对象, 不然 define 的定义就会很尴尬 (define 不是 赋值, 而是绑定). 修改了 a 的 car, b 也应该同时改变.

答案很明显了: 对 pair 对象, 我们应把它表示为一个引用 --- 熟悉 Java 的 同学也会知道一个相同的原则: 在 Java 中, 变量可以是一个原子值 (如数字), 或者是对一个复合对象的引用.

在这里我们引入一组操作, 它可以帮助测试, 理解这样的对象系统:

• set!: 不要漏了叹号, 修改一个符号的绑定
• set-car!: 修改 pair 中左边值的绑定
• set-cdr!: 修改 pair 中右边值的绑定
• eq?: 测试两个对象是否相等
• equal?: 测试两个对象的值是否相等.

我们可以进行如下测试:

(define a '(1 . 2))

(define b '(1 . 2))

(set-car! a 3)

查看 a 和 b 的值

(define a '(1 . 2))

(define b a)

(set-car! a 3)

查看 a 和 b 的值

(eq? '(1 2) '(1 2))

(equal? '(1 2) '(1 2))

另外我们可以想想以下操作形成的对象的结构:

(define a '(1 2))

(define b (cons 3 (cdr a)))

它形成的结构应该是这样的

a: (1 2) - (2) - ()

            |

b: (3 2) ---+

所以 (eq? (cdr a) (cdr b)) 的值应该是真.

lambda 的秘密

接下来我们要研究: Scheme 是怎么执行一个 lambda 函数的? 运行一个 lambda 函数, 最重要的就是建立一个局部的命名空间, 以支持局部变量 --- 对 Scheme 来说, 所谓局部变量就是函数的参数了. 只要建立好这样的一个命名空间, 剩下 的事情就是在此只上逐条运行语句而已了.

我们首先可以看这样的一个例子:

(define x 10)

((lambda (x) x) 20)

结果当然是 20, 这说明了 Scheme 在运行 lambda 函数时会建立一个局部的命名 空间 --- 在 Scheme 中, 它叫做 environment, 为了与其他的资料保持一致, 我 们会沿用这个说法, 并把它简写为 env. 而且这个局部 env 有更高的优先权 . 那我们似乎可以把寻找一个符号对应的对象的过程描述如下, 这也是 C 语言程 序的行为:

1. 先在函数的局部命名空间里搜索
2. 如果找不到, 在全局变量中搜索.

但是 Scheme 中, 函数是可以嵌套的:

(define x 10)

(define (test x)

  (define (test2 x) x)

  (test2 (+ x x)))

(test 20)

很好, 这不就是一个栈的结构吗? 我们在运行中维护一个 env 的栈, 搜索一个名 称绑定时从栈顶搜索到栈底就可以了.

这在 Pascal 等静态语言中是可行的 (Pascal 也支持嵌套的函数定义). 但是在 Scheme 中不行 --- Scheme 的函数是可以动态生成的, 这会产生一些栈无法处 理的情况, 比如我们上面使用过的例子:

(define (make-iterator method step)

        (lambda (x) (method x step)))

(define inc (make-iterator + 1))

(define dec (make-iterator - 1))

执行 inc 和 dec 的时候, 它执行的是 (method x step), x 的值当然很好确定 , 但是method 和 step 的值就有点麻烦了. 我们调用 make-iterator 生成 inc 和dec 的时候, 用的是不同的参数, 执行 inc 和 dec 的时候, method 和 step 的值当然应该不一样, 应该分别等于调用 make-iterator 时的参数. 这样的特性 , 就没法用一个栈的模型来解释了.

一个更令人头痛的问题是: 运行 lambda 函数时会创造一个 env, 现在看起来, 这个 env 不是一个临时性的存在, 即使是在函数执行完以后, 它都有存在的必要 , 不然像上例中, inc 在运行时就没法正确地找到 + 和 1 了. 这是一种我们从 未遇到的模型.

我们要修改函数的定义. 在 Scheme 中, 函数不仅是一段代码, 它还要和一个 environment 相连. 比如, 在调用 (make-iterator + 1) 的时候, 生成的函数要 与执行函数 make-iterator 实时产生的 env 相连, 在这里, method = +, step = 1; 而调用 (make-iterator - 1) 的时候, 生成的函数是在与另一个 env --- 第二次调用 make-iterator 产生的 env 相连, 在这里, method = -, step = 1. 另外, 各个 env 也是相连的. 在执行函数 inc 时, 他会产生一个含有名称 x 的 env, 这个 env 要与跟lambda 函数相连的的 lambda 相连. 这样我们在只 含有 x 的 env 中找不到method, 可以到与其相连的 env 中找. 我们可以画图如 下来执行 (inc 10) 时的 env 关系:

inc: ((x 10)) -> ((method +) (step 1)) -> ((make-iterator 函数体))

这里的最后一项就是我们的全局命名空间, 函数 make-iterator 是与这个空间 相连的.

于是我们可以这样表示一个 env 和一个 lambda 函数对象: 一个 env 是这么一 个二元组 (名称绑定列表 与之相连的上一个 env). 一个 lambda 是一个这样的 三元组: (参数表 代码 env).

由此我们需要修改 eval 和 apply. 解释器运行时, 需要一直保持着一个 "当 前 env". 这个当前 env 应该作为参数放进 eval 和 apply 中, 并不断互相传 递. 在生成一个 lambda 对象时, 我们要这样利用 env:

(define (make-lambda 参数表 代码 env)

   (list 参数表 代码 env))

这样就可以表示 lambda 函数与一个 env 的绑定. 那么我们执行 lambda 函数 的行为可以这么描述:

(define (make-env func)

  (list (match-binding (car func) (caddr func))))

match-binding 就是我们上面介绍过的参数表匹配过程.

(define (run-lambda func)

  (let ((new-env (make-env func)))

     (eval (cadr func) new-env)))

这样我们就可以完全清楚的解释 make-iterator 的行为了. 在执行 (make-iterator + 1) 时, make-env 生成了这样的一个 new-env:

(((method +) (step 1)) global-env)

global-env 是 (((make-iterator 函数体)) '())

这个 new-env 会作为参数 env 去调用 eval. 在 eval 执行到 lambda 一句时, 又会以这样的参数来调用 make-lambda, 因此这样的一个 env 就会绑定到这个 lambda 函数上. 同理, 我们调用 (make-iterator - 1) 的时候, 就能得到另一 个 env 的绑定.

这种特性使 "函数" 在 scheme 中的含义非常丰富, 使用非常灵活, 以下这个 例子实现了非常方便调试的函数计数器:

(define (make-counter method)

   (let ((counter 0))

      (lambda arguments

         (if (eq? (car arguments) 'print)

             counter

             (begin

                (set! counter (+ counter 1))

                (apply method arguments))))))

(define add (make-counter +))

用普通的参数调用 add 时, 它会执行一个正常的加法操作. 但如果调用 (add 'print), 它就会返回这个函数被执行了多少次. 这样的一个测试用 wrapper 是 完全透明的. 正因为 scheme 函数可以与一个 env, 一堆值相关联, 才能实现这 么一个功能.

自动垃圾收集

我们的问题远未解决.

C 语言中, 局部变量放在栈中, 执行完函数, 栈顶指针一改, 这些局部变量就全 没了. 这好理解得很. 但根据我们上面的分析, Scheme 中的函数执行完后, 它 创造的 env 还不能消失. 这样的话, 不就过一会就爆内存了么......

所以我们需要一个自动垃圾收集系统, 把用不着的内存空间全部收回. 大家可能 都是在 Java 中接触这么一个概念, 但自动垃圾收集系统的祖宗其实是 LISP, Scheme 也继承了这么一个神奇的系统.

自动垃圾收集系统可以以一句唯心主义的话来概括: 如果你没法看到它了, 它就 不存在了. 在 Java 中, 它似乎是一个很神奇的机制, 但在 Scheme 中, 它却简 单无比.

我们引入上下文的概念: 一个上下文 (context), 包括当前执行的语句, 当前 env, 以及上一个与之相连的 context --- 如我们所知, 在调用 lambda 函数时 , 会产生一个新的 env, 但其实它也产生一个新的 context, 包括了 lambda 中 的代码, 新的 env, 以及对调用它的 context 的引用 (这就好比在 x86 中调用 CALL 指令压栈的当前指令地址, 在使用 RET 的时候可以弹出返回正确的地方 ). 它是这样的一个三元组: (code env prev-context). 任何时候, 我们都处于 一个这样的上下文中.

引入这个概念, 是因为一个 context, 说明了任何我们能够访问和以后可能会访 问的对象集合: 正要运行的代码当然是我们能访问的, env 是所有我们能够访问 的变量的集合, 而 prev-context 则说明了我们以后可能能够访问的东西: 在函 数执行完毕返回后, 我们的 context 会恢复到 prev-context, prev-context 包含的内容是我们以后可能访问到的.

如上所述, code, env, 以及 context 本身都可以描述为标准的 LIST 结构, 那 我们所谓能 "看到" 的对象, 就是当前 context 这个大表中的所有内容. 其 他的东西, 都是垃圾, 要被收走.

比如, 我们处在 curr-context 中, 调用 (add 1 2). 那会产生一个新的 new-context, 在执行完 (add 1 2) 后, 我们又回到了 curr-context, 它与 new-context 不会有任何的联系 --- 我们无论如何也不可能在这里访问到执行 add 时的局部变量. 所以执行 add 时产生的 env 之类, 都会被当作垃圾收走.

当我们使用的内存多于某个阈值, 自动垃圾收集机制就会启动. 有了上面的介绍 , 我们会发现这么个机制简单的不值得写出来: 当前的 context 是一个 LIST, 遍历这个 LIST, 把里面的所有对象标记为有用. 然后遍历全部对象, 把没有标 记为有用的对象全部当垃圾回收, 完了. 当然真实实现远远不是如此, 会有很多 的优化, 但它的基本理论就是如此.

好了, 我们要再一次修改 eval, apply 和 run-lambda 的实现, 这次要怎么改 动大家都清楚得很了.

通过这次修改, 我们也可以解释自动处理尾递归为什么是可行的. 我们在上面举 出了一个尾递归的例子:

(define (iterate x)

        (if (= x 10)

            x

            (iterate (+ x 1))))

(iterate 0)

在 C 语言中, 再新的新手也不会写这种狂吃内存的愚蠢代码, 但在 Scheme 中, 它是很合理的写法 --- 因为有自动垃圾收集.

在每次调用函数的时候, 我们可以做这样的分析, iterate 的递归调用图如下:

  (iterate 0) -> (iterate 1) -> (iterate 2) ....

    |  ^          |    ^             |

----+  +----------+    +-------------+

下面的箭头表示函数返回的路径. 如果我们每次的递归调用都是函数体中的最后 一个语句, 就说明: 比如从 (interate 2) 返回到 (iterate 1) 时, 我们什么 都不用干, 又返回到 (iterate 0) 了. 在 iterate 中, 我们每一层递归都符合 这个条件, 所以我们就给它一个捷径:

(iterate 0) -> (interate 1) -> ... (interate 10)

                                          |

<-----------------------------------------+

让他直接返回到调用 (iterate 0) 之前. 在实现上, 我们可以这么做: 比如, 我们处在 (iterate 0) 的 context 中, 调用 (iterate 1). 我们把 (iterate 1) 的 context 中的 prev-context 记为 (iterate 0) 的 prev-context, 而不 是 (iterate 0) 的 context, 就能形成这么一条捷径了. 我们每一层递归都这 么做, 可以看到, 其实每一层递归的 context 中的 prev-context 都是调用 (interate 0) 之前的 context! 所以其实执行 (interate 10) 的时候, 与前面 的 context 没有任何联系, 前面递归产生的 context 都是幽魂野鬼, 内存不足 时随时可以回收, 因此不用担心浪费内存. 而 Scheme 自动完成分析并构造捷径 的过程, 所以在 Scheme 中可以用这样的递归去实现迭代而保持高效.

面向对象的 Scheme

我们可以这样定义一个对象: 对象就是数据和在数据之上的操作的集合.

Scheme 中的 lambda 函数, 不但有代码, 还和一个 environment, 一堆数据相 连 --- 那不就是对象了么. 在 Scheme 中, 确实可以用 lambda 去实现面向对 象的功能. 一个基本的 "类" 的模板是类似这样的:

(define (make-object 初始化参数)

   (let ((成员变量1 初始值 1) (成员变量2 初始值 2) ...)

      (define (成员函数1 参数表)

         blablabla)

      ....

      (lambda (cmd . args)

        (cond

         ((eq? cmd 接口名1) (apply 成员函数1 args))

         ....))))

使用

(define obj (make-object blabla))

(obj 接口名 参数)

这样就能很方便地把它和其他语言中的对象对应起来了.

Scheme 虽然没有真正的, 复杂的面向对象概念, 没有继承之类的咚咚, 但 Scheme 能够实现更灵活, 更丰富的面向对象功能. 比如, 我们前面举过的 make-counter 的例子, 它就是一个函数调用计数器的类, 而且, 它能提供完全 透明的接口, 这一点, 其他语言就很难做到了.

创造机器的机器

真实存在的时光机器

在上一节中, 我们引入了 context 的概念, 这个概念代表 scheme 解释器在任 何时刻的运行状态. 如果我们有一种机制, 能够把某个时候的 context 封存起 来, 到想要的时候, 再把它调出来, 这一定会非常有趣 --- 对, 就像游戏中的 存档一样. 如果真有这样的机制, 那就简直是真实存在的时光机器了.

Scheme 还真的有这个机制 --- 它把 context 也看成一个对象, 可以由用户自 由地使用, 这使我们能完成很多 "神奇" 的事情. 在上一节, 我们为了方便理 解, 使用了 "context" 这一叫法, 在这里, 我们恢复它的正式称呼 --- 这一 节, 我们研究 continuation.

我们还是从它的用法说起, continuation 的使用从 call-with-current-continuation 开始, 这个名字长得实在难受, 我们按惯例 一律缩写为 call/cc. call/cc 可以这样使用

(call/cc (lambda (cont) blablablabla))

它接受一个函数作为参数, 而这个函数的参数就是这个 continuation 对象. 我 们要怎么用这个对象呢? 以下是一个最简单的例子:

(+ 1 (call/cc (lambda (cont) (cont 2))))

大家可以试试它的结果, 与 (+ 1 2) 相同. 这里最重要的一句是 (cont 2). 我 们从一开始就说, Scheme 中的一切都是函数, 在上一节中我们知道, 为了执行一 个函数, 我们创建一个 context (continuation), 那 context 的行为的最终结 果就是返回一个值了. 而 (cont 2) 这样用法相当于是给 cont 这个 continuation 下个断言: 这个 context(continuation) 的返回值就是 2, 不用 再往下算了 --- 我们也可以这么想象, 当解释器运行到 (cont 2) 的时候, 就把 整个 (call/cc ....) 替换成 2, 所以得到我们要的结果.

没什么特别, 对吧. 但这一点点已经能有很重要的应用 --- 我的函数有很多条 语句 (这在 C 等过程式语言中很常见, 在 Scheme 这类语言中倒是少见的), 我 想让它跑到某个点就直接 return; 我需要一个像 try ... catch 这样的例外机 制, 而不想写一个 N 层的 if. 上面的 continuation 用法就已经能做到了, 大 家可以试试写一个 try ... catch 的框架, 很简单的.

老实说, 上面这个一点都不像时光机, 也不见得有多强大. 我们再来点好玩的:

(define g-cont '())

(let ((x (call/cc

          (lambda (cont) (set! g-cont cont)))))

  (if (number? x) (+ x x)))

以上这些语句当然不会有执行结果, 因为 call/cc 没有返回任何值给 x, 在 if 语句之后就无法继续下去了. 不过, 在这里我们把这个 continuation 保存成了 一个全局变量 g-cont. 现在我们可以试试: (g-cont 10). 大家可以看到结果了 : 这才是时光机啊, 通过 g-cont, 我们把解释器送回从前, 让 x 有了一个值, 然后重新计算了 let 之中的内容, 得出我们所要的答案.

这样的机制当然不仅仅是好玩的, 它可以实现 "待定参数" 的功能: 有的函数 并不能直接被调用, 因为它的参数可能由不同的调用者提供, 也可能相隔很长时 间才分别提供. 但无论如何, 只要参数一齐, 函数就要马上得到执行 --- 这是 一种非常常见的模块间通讯模式, 但用普通的函数调用方法无法实现, 其他方法 也很难实现得简单漂亮, continuation 却使它变得非常简单. 比如

(define (add x y)

   (if (and (number? x) (number? y)) (display (+ x y))))

(define slot-x '())

(define slot-y '())

(add (call/cc (lambda (cont) (set! slot-x cont)))

     (call/cc (lambda (cont) (set! slot-y cont))))

到我们用类似 (slot-x 10) 的形式提供完整的 x y 参数值后, add 就会正确地 计算. 在这里, add 不用担心是谁, 在什么时候给它提供参数, 而参数的提供者 也不必关心它提供的数据是给哪个函数, 哪段代码使用. 这样, 模块之间的耦合 度就很低, 而依然能简单, 准确地实现功能. 实在非 continuation 不能为也.

不过要注意的是, continuation 并不是真的如游戏的存档一般 --- 我们知道 continuation 的实现, 一个 continuation 只不过是一个简单的对象指针, 它 不会真的复制保存下全部运行状态. 我们保存下一个 continuation, 修改了全 局变量, 然后再回到那个 continuation, 全局变量是不会变回来的. 有了前一 章的知识, 大家很清楚什么才会一直在那里不被改动 --- 这个 continuation 所关联的私有 env 才是不会被改动的.

既然有时光机的特性, continuation 会是一个强力的实现回溯算法的工具. 我们 可以用 continuation 保存一个回溯点, 当我们的搜索走到一个死胡同, 可以退 回上一个保存的回溯点, 选择其他的方案.

比方说, 在 m0 = (4 2 3) 和 m1 = (1 2 3) 中搜索一个组合, 使 m0 < m1, 这 是一个非常简单的搜索问题. 我们递归地先选一个 m0 的值, 再选一个 m1 的值 , 到下一层递归的时候, 由于没有东西可选了. 所以我们检验是否 m0 < m1, 如 果是, 退出, 否则就回溯到上一回溯点, 选择下一个值.

回溯点的保存当然是用 continuation, 我们不但要在一个尝试失败时使用 continuation 作回溯, 还需要在得到正确答案时用 continuation 跳过层层递 归, 直接返回答案.

所以, 我们有这样的一个过程:

(define (search-match . ls)

  (define (do-search fix un-fix success fail)

    (if (null? un-fix)

        (if (< (car fix) (cadr fix))

        (success fix)

        (fail))

        (choose fix (car un-fix) (cdr un-fix) success fail)))

  (call/cc

   (lambda (success)

     (do-search '() ls success

                (lambda () (error "Search failed"))))))

当 un-fix 为空时, 说明所有值都已经选定, 我们就可以检验值并选择下一步动 作. 吸引我们的是 choose 的实现, choose 要做的工作就是在 un-fix 中的第 一项里选定一个值, 放到 fix 中, 然后递归地调用 do-search 进入下一层递归 . 在 C 中, 它的工作是用循环完成的, 在 Scheme 中, 它却是这么一个递归的 过程:

(define (choose fix to-fix un-fix success prev-fail)

  (if (null? to-fix)

      (prev-fail)

      (begin

    (call/cc

     (lambda (fail)

       (do-search (append fix (list (car to-fix))) un-fix

               success fail)))

    (choose fix (cdr to-fix) un-fix success prev-fail))))

我们在上面说过将一个循环转换成递归的过程, 现在大家就要把这个递归重新化 为我们熟悉的循环了. (prev-fail) 相当于 C 中循环结束后自然退出, 这退到 了上一个回溯点. 而下面 call/cc 的过程在递归 do-search 的时候创建了一个 回溯点. 比如, 在 do-search 中运行 (fail), 就会回溯回这里, 递归地调用 choose 来选定下一个值.

大家可以写出相应的 C 程序进行对照, 应该能够理解到 fail 参数在这里的使 用. 其实这样回溯实现确实是比较啰嗦的 --- 但是, 如果我们能不写任何代码, 让机器自动完成这样的搜索计算呢?

简言之, 我们只需要一个函数

(define (test a b) (< a b))

然后给定 a, b 的可选范围, 然后系统就告诉我们 a b 的值, 我们不用关心它 是怎么搜索出来的.

有这东西么? 在 Scheme 中请相信奇迹, 用 continuation 可以方便地实现这样 的系统. 下面, 我们要介绍这个系统, 一个 continuation 的著名应用 --- amb 操作符实现非确定计算.

amb 操作符是一个通用的搜索手段, 它实现这样一个非确定计算: 一个函数有 若干参数, 这些参数并没有一个固定的值, 而只给出了一个可选项列表. 系统能 自动地选择一个合适的组合, 以使得函数能正确执行到输出合法的结果.

我们用 (amb 1 2 3) 这样的形式去提供一个参数的可选项, 而 (amb) 则表示没 有可选项, 计算失败. 所以, 所谓一个函数能正确执行到输出合法结果, 就是指 函数能返回一个确定值或一个 amb 形式提供的不确定值; 而函数没有合法结果, 或是计算失败, 就是指函数返回了 (amb). 系统能自动选择/搜索合适的参数组 合, 使函数执行到合适的分支, 避免计算失败, 到最后正确输出结果 --- 其实 说了这么多, 就是一个对函数参数组合的搜索 --- 不过它是全自动的. 比如:

(define (test-amb a b)

  (if (< a b)

      (list a b)

      (amb)))

(test-amb (amb 4 2 3) (amb 1 2 3))

有了上面的基础, 我们知道用 continuation 可是方便地实现它, amb 操作其实 是上面的搜索过程的通用化. 不同的是, 在这里, 给出可选参数的形式更加* , 像上面把参数划分为 fix 和 un-fix 的方法不适用了.

我们使用一个共享的回溯点的栈来解决问题. 在执行 (amb 4 2 3) 的时候, 我 们就选定 4, 然后设置一个回溯点, 压入栈中, 执行 (amb 1 2 3) 时也如此 . 而当计算失败要重新选择时, 我们从栈中 POP 出回溯点来跑. 我们注意 (amb 1 2 3) 选择完 3 之后的情况, 在上面的 search-match 实现中, 这相当于 choose 中的 (prev-fail) 语句. 但是 (amb 1 2 3) 并不知道 (amb 4 2 3) 的 存在, 无法这么做, 而借助这个共享栈, 我们可以获得 (amb 4 2 3) 的回溯点, 使计算继续下去. 用这样的方法, 我们就无须使用严密控制的 fix 和 un-fix, 能够*使用 amb.

我们的整个实现如下, 过程并不复杂, 不过确实比较晦涩, 所以也附带了注释:

(define fail-link '())  ; fail continuation 栈

;; amb-fail 在失败回溯时调用, 它另栈顶的 fail continuation 出栈

;; 并恢复到那个 continuation 中去

(define (amb-fail)

  (if (null? fail-link)

      (error "amb process failed")

      (let ((prev (car fail-link)))

    (set! fail-link (cdr fail-link))

    (prev))))

(define (amb . ls)

  (define (do-amb success curr)

    (if (null? curr)

    (amb-fail)      ; 没有可选项, 失败

    (begin

      (call/cc

       (lambda (fail)

         (set! fail-link (cons fail fail-link)) ;设置回溯

             ;; 返回一个选项到需要的位置

         (success (car curr)))) 

      ;; 回溯点

      (do-amb success (cdr curr)))))

  (call/cc

   (lambda (success)

     (do-amb success ls))))

我们可以再敲入上面 test-amb 那段程序看看效果. 我们发现, 其实我们写 (amb) 的时候, 做的就是上面 search-match 实现中的 (fail), 那么整个过程 又可以套回到上面的实现上去了. 以上程序的执行流程分析有点难, 呵呵, 准备 几张草稿纸好好画一下就能明白了.

终章的名实之辩

================= End