title: 数据结构之图的关键路径
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一、AOE和AOV网
1.AOE网
AOE-网：指用边表示活动的网，是一个带权的有向无环图，其中，顶点表示事件弧表示活动，权表示活动持续的时间，通常一个AOE-网可用来估算工程的完成时间。
AOE网具有以下几个性质：
(1) 只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各有向边所代表的活动才能开始；
(2) 只有在进入某一顶点的各有向边所代表的活动都已经结束，该顶点所代表的事件才能发生；
(3) 表示实际工程计划的AOE网应该是无环的，并且存在惟一的入度过为0的开始顶点(源点）和惟一的出度为0的完成顶点（汇点）。
对于AOE-网，我们不妨采用与AOV-网一样的邻接表的存储方式，其中邻接表中边结点增设一个dut域存放该边的权值，即该有向边代表的活动所持续的时间。
下图给出了上图所示的AOE-网的邻接表。
如果用AOE网来表示一项工程，那么仅仅考虑各个子工程之间的优先关系还不够，更多的是关心整个工程完成的最短时间是多少，哪些活动的延迟将会影响整个工程的进度，而加速这些活动又能导致提高整个工程的效率。因此，对AOE网有待研究的问题是:
(1) 完成整个工程至少需要多少时间；
(2) 哪些活动是影响工程进度的关键。
二、关键路径
由于在AOE-网中某些活动可以并行地进行，因此完成工程的最短时间是从开始顶点（源点）到完成顶点（汇点）的最大路径长度（这里所说的路径的长度等于这条路径上完成各个活动所需时间之和，不是路径上弧的数目）;
具有最大路径长度的路径称为关键路径。
为了寻找关键活动，确定关键路径，我们先定义几个变量：
(1)事件的最早发生时间ve(i)：从v1到vi的最长路径长度。
(2)事件的最迟发生时间vl(i)：完成顶点vn的最早发生时间ve(n)减去vi到vn的最长路径长度。
(3)活动ai的最早开始时间e(i)：事件vj的最早发生时间ve(j)也是所有以vj为起点的出边 vj, vk所表示的活动ai的最早开始的时间，即e(i)=ve(j)。
(4)活动的最迟开始时间l(i)：是ai的最迟完成时间减去ai的持续时间，即l(i)=vl(k)- vj , vk的权。
通常把e(i)=l(i)的活动称为关键活动
由上述分析可知，若把所有活动ai的最早开始时间e(i)和最迟开始时间l(i)都计算出来，即可找到所有的关键活动。为了求得AOE网的e(i)和l(i)，应该先求得网中所有事件vj的最早发生时间ve(j)和最迟发生时间vl(j)。若活动ai由边vj, vk表示，其持续时间记为dut(j, k)，则有如下关系：
e(i)=ve(j)
l(i)=vl(k)-dut(j, k)
求关键路径的算法描述
1) 根据有向网的弧建立图的邻接表作存储结构；
2) 从源点v0出发，令ve[0]=0,按拓扑序列求各顶点的ve[i]；
3) 从汇点vn-1出发，令vl[n-1]=ve[n-1],按逆拓扑序列求其余各顶点的vl[i]；
4) 根据各顶点的ve和vl值，计算每条弧的e[i]和l[i]，找出e[i]=l[i]的关键活动。
算法实现
1）输入顶点和弧信息，建立其邻接表;计算每个顶点的入度
2）对其进行拓扑排序，排序过程中求顶点的ve[i]，将得到的拓扑序列进栈
3）按逆拓扑序列求顶点的vl[i]。计算每条弧的e[i]和l[i]，找出e[i]=l[i]的关键活动。
例如：根据给定的右图求该AOE-网的关键活动及关键路径。
关键活动是：a1, a4, a7, a8, a10, a11
它们构成了两条关键路径：(v1，v2，v5，v7，v9)和(v1，v2，v5，v8，v9)
求出来的关键路径的图如下：
说明：
关键活动的速度提高是有限度的。
任何一项活动持续时间的改变都会影响关键路径的改变；只有在不改变网的关键路径的情况下，提高关键活动的速度才有效。若网中有几条关键路径，单提高一条关键路径上的关键活动的速度，是不能导致整个工程缩短工期。必须同时提高在几条关键路径上的活动的速度。