【BZOJ-1492】货币兑换Cash DP + 斜率优化 + CDQ分治

时间：2023-12-24 16:11:07

1492: [NOI2007]货币兑换Cash

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Description

小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和 B纪念券（以下
简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，
两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的
价值分别为 AK 和 BK（元/单位金券）。为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法
。比例交易法分为两个方面：（a）卖出金券：顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将
 OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以当时的价值兑换为人民币；（b）买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑
换给用户总价值为 IP 的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK；例如，假定接
下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为：
【BZOJ-1492】货币兑换Cash DP + 斜率优化 + CDQ分治
假定在第一天时，用户手中有 100元 人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作：
【BZOJ-1492】货币兑换Cash DP + 斜率优化 + CDQ分治
注意到，同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经
知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能
够获得多少元钱。

Input

输入第一行两个正整数N、S，分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行，第K行三个实数AK、B
K、RateK，意义如题目中所述。对于100%的测试数据，满足：0<AK≤10；0<BK≤10；0<RateK≤100；MaxProfit≤1
0^9。
【提示】
1.输入文件可能很大，请采用快速的读入方式。
2.必然存在一种最优的买卖方案满足：
每次买进操作使用完所有的人民币；
每次卖出操作卖出所有的金券。

Output

只有一个实数MaxProfit，表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。

Sample Input

3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3

Sample Output

225.000

HINT

【BZOJ-1492】货币兑换Cash DP + 斜率优化 + CDQ分治

Source

Solution

斜率优化DP，典型的不单调

$f[i]=max（f[i],f[j]/(a[j]*rate[j]+b[j])*rate[j]*a[i]+f[j]/(a[j]*rate[j]+b[j])*b[i]）$

至于CDQ分治的理论：移步  折越

启发：

1.斜率优化DP变化万千..

2.熟练掌握分治算法能够产生很多神奇的功效（xyx好像很喜欢分治）

Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define maxn 200010

struct DayNode

{

    double A,B,Ra,k; int id;

    bool operator < (const DayNode & T) const

        {return k<T.k;}

}a[maxn],tmpa[maxn];

struct PointNode{double x,y;}p[maxn],tmpp[maxn];

int N;

double dp[maxn];

int tmp1[maxn],tmp2[maxn],stack[maxn];

#define inf 1e9

#define eps 1e-9

double slope(int l1,int l2)

{

    if (!l1) return -inf;

    if (!l2) return inf;

    if (fabs(p[l1].x-p[l2].x)<=eps) return -inf;

    return (p[l1].y-p[l2].y)/(p[l1].x-p[l2].x);

}

void CDQ(int l,int r)

{

    if (l==r)

        {

            dp[l]=max(dp[l],dp[l-]);

            p[l].y=dp[l]/(a[l].Ra*a[l].A+a[l].B);

            p[l].x=a[l].Ra*p[l].y;

            return;

        }

    int mid=(l+r)>>,L,R;

    L=l; R=mid+;

    for (int i=l; i<=r; i++)

        if (a[i].id<=mid) tmpa[L++]=a[i]; else tmpa[R++]=a[i];

    for (int i=l; i<=r; i++) a[i]=tmpa[i];

    CDQ(l,mid);

    int top=;

    for (int i=l; i<=mid; i++)

        {

            while (top> && slope(stack[top],stack[top-])<slope(i,stack[top-])+eps) top--;

            stack[++top]=i;

        }

    int Top=;

    for (int i=r; i>=mid+; i--)

        {

            while (Top<top && slope(stack[Top],stack[Top+])+eps>a[i].k) Top++;

            dp[a[i].id]=max(dp[a[i].id],p[stack[Top]].x*a[i].A+p[stack[Top]].y*a[i].B);

        }

    CDQ(mid+,r);

    L=l; R=mid+;

    for (int i=l; i<=r; i++)

        if (((p[L].x<p[R].x+eps || (fabs(p[L].x-p[R].x)<=eps && p[L].y<p[R].y+eps)) || R>r) && L<=mid)

            tmpp[i]=p[L++];

        else tmpp[i]=p[R++];

    for (int i=l; i<=r; i++) p[i]=tmpp[i];

}

int main()

{

    scanf("%d%lf",&N,&dp[]);

    for (int i=; i<=N; i++)

        scanf("%lf%lf%lf",&a[i].A,&a[i].B,&a[i].Ra),a[i].k=-a[i].A/a[i].B,a[i].id=i;

    sort(a+,a+N+);

    CDQ(,N);

    //for (int i=1; i<=N; i++) printf("%d  %d  %.3lf  %.3lf  %.3lf  %.3lf  \n",i,a[i].id,a[i].A,a[i].B,a[i].Ra,a[i].k);

    printf("%.3lf\n",dp[N]);

    return ;

}

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