原理:
素数,指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,不能被其他自然数整除的数。在加密应用中起重要的位置,比如广为人知的RSA算法中,就是基于大整数的因式分解难题,寻找两个超大的素数然后相乘作为密钥的。一个比较常见的求素数的办法是埃拉托斯特尼筛法(the Sieve of Eratosthenes) ,说简单一点就是画表格,然后删表格,如图所示:
从2开始依次往后面数,如果当前数字一个素数,那么就将所有其倍数的数从表中删除或者标记,然后最终得到所有的素数。
有一个优化:
标记2和3的倍数的时候,6被标记了两次。所以从i的平方开始标记,减少很多时间。
比如3的倍数从9开始标记,而不是6,并且每次加6。
除了2以外,所有素数都是奇数。奇数的平方还是奇数,如果再加上奇数就变成了偶数一定不会是素数,所以加偶数(2倍素数)。
预先处理了所有偶数。
注意:1既不是素数也不是合数,这里没有处理1。
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#! prime.py
import time
def primes(n):
P = []
f = []
for i in range (n + 1 ):
if i > 2 and i % 2 = = 0 :
f.append( 1 )
else :
f.append( 0 )
i = 3
while i * i < = n:
if f[i] = = 0 :
j = i * i
while j < = n:
f[j] = 1
j + = i + i
i + = 2
P.append( 2 )
for i in range ( 3 ,n, 2 ):
if f[i] = = 0 :
P.append(i)
return P
def isPrime(n):
if n > 2 and n % 2 = = 0 :
return 0
i = 3
while i * i < = n:
if n % i = = 0 :
return 0
i + = 2
return 1
def primeCnt(n):
cnt = 0
for i in range ( 2 ,n):
if isPrime(i):
cnt + = 1
return cnt
if __name__ = = '__main__' :
start = time.clock()
n = 10000000
P = primes(n);
print ( "There are %d primes less than %d" % ( len (P),n))
#for i in range(10):
# print(P[i])
print ( "Time: %f" % (time.clock() - start))
#for n in range(2,100000):
# if isPrime(n):
# print("%d is prime"%n)
#print("%d is "%n + ("prime" if isPrime(n) else "not prime"))
start = time.clock()
n = 1000000
print ( "There are %d primes less than %d" % (primeCnt(n),n))
print ( "Time: %f" % (time.clock() - start)
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用素数筛选法求1千万以内的素数用了5.767s,
普通素数判断法求1百万以内的素数用了9.642s,
用C++素数筛选法求1亿以内的素数用了0.948s,
用C++普通素数判断法求1千万以内的素数用了3.965s,
可见解释语言确实比编译语言慢很多。
附C++程序,用了位压缩优化空间
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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100000001
unsigned f[(N>>5)+5];
int p[5761456],m;
void init()
{
int i,j;
for (i=4;i<N;i+=2)
f[i>>5]|=1<<(i&0x1F);
p[m++]=2;
for (i=3;i*i<N;i+=2)
if (!(f[i>>5]&(1<<(i&0x1F))))
{
p[m++]=i;
for (j=i*i;j<N;j+=i+i)
f[j>>5]|=1<<(j&0x1F);
}
for (;i<N;i+=2)
if (!(f[i>>5]&(1<<(i&0x1F))))
p[m++]=i;
}
int is_prime( int n)
{
int i;
for (i=0;p[i]*p[i]<=n;i++)
if (n%p[i]==0)
return 0;
return 1;
}
int isPrime( int n)
{
if (n>2 && n%2==0)
return 0;
int i=3;
while (i*i<=n)
{
if (n%i==0)
return 0;
i+=2;
}
return 1;
}
int main()
{
int n=0,i;
clock_t st= clock ();
init();
/*for(i=2;i<10000000;i++)
if(isPrime(i))
n++;*/
printf ( "%d %dms\n" ,m, clock ()-st);
/*while(~scanf("%d",&n),n)
{
i=lower_bound(p,p+m,n+1)-p;
printf("%d\n",i);
}*/
return 0;
}
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