DFS 算法秒杀五道岛屿问题

岛屿问题是经典的面试高频题，虽然基本的岛屿问题并不难，但是岛屿问题有一些有意思的扩展，比如求子岛屿数量，求形状不同的岛屿数量等等，本文就来把这些问题一网打尽。

岛屿系列问题的核心考点就是用 DFS/BFS 算法遍历二维数组。

本文主要来讲解如何用 DFS 算法来秒杀岛屿系列问题，不过用 BFS 算法的核心思路是完全一样的，无非就是把 DFS 改写成 BFS 而已。

那么如何在二维矩阵中使用 DFS 搜索呢?如果你把二维矩阵中的每一个位置看做一个节点，这个节点的上下左右四个位置就是相邻节点，那么整个矩阵就可以抽象成一幅网状的「图」结构。

根据 学习数据结构和算法的框架思维，完全可以根据二叉树的遍历框架改写出二维矩阵的 DFS 代码框架：

1. // 二叉树遍历框架 
2. void traverse(TreeNode root) { 
3.     traverse(root.left); 
4.     traverse(root.right); 
5. } 
6.  
7. // 二维矩阵遍历框架 
8. void dfs(int[][] grid, int i, int j, boolean[] visited) { 
9.     int m = grid.length, n = grid[0].length; 
10.     if (i < 0 || j < 0 || i >= m || j >= n) { 
11.         // 超出索引边界 
12.         return; 
13.     } 
14.     if (visited[i][j]) { 
15.         // 已遍历过 (i, j) 
16.         return; 
17.     } 
18.     // 进入节点 (i, j) 
19.     visited[i][j] = true; 
20.     dfs(grid, i - 1, j); // 上 
21.     dfs(grid, i + 1, j); // 下 
22.     dfs(grid, i, j - 1); // 左 
23.     dfs(grid, i, j + 1); // 右 
24.     // 离开节点 (i, j) 
25.     visited[i][j] = false; 
26. } 

因为二维矩阵本质上是一幅「图」，所以遍历的过程中需要一个visited布尔数组防止走回头路，如果你能理解上面这段代码，那么搞定所有岛屿问题都很简单。

这里额外说一个处理二维数组的常用小技巧，你有时会看到使用「方向数组」来处理上下左右的遍历，和前文 图遍历框架 的代码很类似：

1. // 方向数组，分别代表上、下、左、右 
2. int[][] dirs = new int[][]{{-1,0}, {1,0}, {0,-1}, {0,1}}; 
3.  
4. void dfs(int[][] grid, int i, int j, boolean[] visited) { 
5.     int m = grid.length, n = grid[0].length; 
6.     if (i < 0 || j < 0 || i >= m || j >= n) { 
7.         // 超出索引边界 
8.         return; 
9.     } 
10.     if (visited[i][j]) { 
11.         // 已遍历过 (i, j) 
12.         return; 
13.     } 
14.  
15.     // 进入节点 (i, j) 
16.     visited[i][j] = true; 
17.     // 递归遍历上下左右的节点 
18.     for (int[] d : dirs) { 
19.         int next_i = i + d[0]; 
20.         int next_j = j + d[1]; 
21.         dfs(grid, next_i, next_j); 
22.     } 
23.     // 离开节点 (i, j) 
24.     visited[i][j] = false; 
25. } 

这种写法无非就是用 for 循环处理上下左右的遍历罢了，你可以按照个人喜好选择写法。

岛屿数量

这是力扣第 200 题「岛屿数量」，最简单也是最经典的一道岛屿问题，题目会输入一个二维数组grid，其中只包含0或者1，0代表海水，1代表陆地，且假设该矩阵四周都是被海水包围着的。

我们说连成片的陆地形成岛屿，那么请你写一个算法，计算这个矩阵grid中岛屿的个数，函数签名如下：

1. int numIslands(char[][] grid); 

比如说题目给你输入下面这个grid有四片岛屿，算法应该返回 4：

思路很简单，关键在于如何寻找并标记「岛屿」，这就要 DFS 算法发挥作用了，我们直接看解法代码：

1. // 主函数，计算岛屿数量 
2. int numIslands(char[][] grid) { 
3.     int res = 0; 
4.     int m = grid.length, n = grid[0].length; 
5.     // 遍历 grid 
6.     for (int i = 0; i < m; i++) { 
7.         for (int j = 0; j < n; j++) { 
8.             if (grid[i][j] == '1') { 
9.                 // 每发现一个岛屿，岛屿数量加一 
10.                 res++; 
11.                 // 然后使用 DFS 将岛屿淹了 
12.                 dfs(grid, i, j); 
13.             } 
14.         } 
15.     } 
16.     return res; 
17. } 
18.  
19. // 从 (i, j) 开始，将与之相邻的陆地都变成海水 
20. void dfs(char[][] grid, int i, int j) { 
21.     int m = grid.length, n = grid[0].length; 
22.     if (i < 0 || j < 0 || i >= m || j >= n) { 
23.         // 超出索引边界 
24.         return; 
25.     } 
26.     if (grid[i][j] == '0') { 
27.         // 已经是海水了 
28.         return; 
29.     } 
30.     // 将 (i, j) 变成海水 
31.     grid[i][j] = '0'; 
32.     // 淹没上下左右的陆地 
33.     dfs(grid, i + 1, j); 
34.     dfs(grid, i, j + 1); 
35.     dfs(grid, i - 1, j); 
36.     dfs(grid, i, j - 1); 
37. } 

为什么每次遇到岛屿，都要用 DFS 算法把岛屿「淹了」呢?主要是为了省事，避免维护visited数组。

因为dfs函数遍历到值为0的位置会直接返回，所以只要把经过的位置都设置为0，就可以起到不走回头路的作用。

PS：这类 DFS 算法还有个别名叫做 FloodFill 算法，现在有没有觉得 FloodFill 这个名字还挺贴切的~

这个最最基本的岛屿问题就说到这，我们来看看后面的题目有什么花样。

封闭岛屿的数量

上一题说二维矩阵四周可以认为也是被海水包围的，所以靠边的陆地也算作岛屿。

力扣第 1254 题「统计封闭岛屿的数目」和上一题有两点不同：

1、用0表示陆地，用1表示海水。

2、让你计算「封闭岛屿」的数目。所谓「封闭岛屿」就是上下左右全部被1包围的0，也就是说靠边的陆地不算作「封闭岛屿」。

函数签名如下：

1. int closedIsland(int[][] grid) 

比如题目给你输入如下这个二维矩阵：

算法返回 2，只有图中灰色部分的0是四周全都被海水包围着的「封闭岛屿」。

那么如何判断「封闭岛屿」呢?其实很简单，把上一题中那些靠边的岛屿排除掉，剩下的不就是「封闭岛屿」了吗?

有了这个思路，就可以直接看代码了，注意这题规定0表示陆地，用1表示海水：

1. // 主函数：计算封闭岛屿的数量 
2. int closedIsland(int[][] grid) { 
3.     int m = grid.length, n = grid[0].length; 
4.     for (int j = 0; j < n; j++) { 
5.         // 把靠上边的岛屿淹掉 
6.         dfs(grid, 0, j); 
7.         // 把靠下边的岛屿淹掉 
8.         dfs(grid, m - 1, j); 
9.     } 
10.     for (int i = 0; i < m; i++) { 
11.         // 把靠左边的岛屿淹掉 
12.         dfs(grid, i, 0); 
13.         // 把靠右边的岛屿淹掉 
14.         dfs(grid, i, n - 1); 
15.     } 
16.     // 遍历 grid，剩下的岛屿都是封闭岛屿 
17.     int res = 0; 
18.     for (int i = 0; i < m; i++) { 
19.         for (int j = 0; j < n; j++) { 
20.             if (grid[i][j] == 0) { 
21.                 res++; 
22.                 dfs(grid, i, j); 
23.             } 
24.         } 
25.     } 
26.     return res; 
27. } 
28.  
29. // 从 (i, j) 开始，将与之相邻的陆地都变成海水 
30. void dfs(int[][] grid, int i, int j) { 
31.     int m = grid.length, n = grid[0].length; 
32.     if (i < 0 || j < 0 || i >= m || j >= n) { 
33.         return; 
34.     } 
35.     if (grid[i][j] == 1) { 
36.         // 已经是海水了 
37.         return; 
38.     } 
39.     // 将 (i, j) 变成海水 
40.     grid[i][j] = 1; 
41.     // 淹没上下左右的陆地 
42.     dfs(grid, i + 1, j); 
43.     dfs(grid, i, j + 1); 
44.     dfs(grid, i - 1, j); 
45.     dfs(grid, i, j - 1); 
46. } 

只要提前把靠边的陆地都淹掉，然后算出来的就是封闭岛屿了。

PS：处理这类岛屿问题除了 DFS/BFS 算法之外，Union Find 并查集算法也是一种可选的方法，前文 Union Find 算法运用 就用 Union Find 算法解决了一道类似的问题。

这道岛屿题目的解法稍微改改就可以解决力扣第 1020 题「飞地的数量」，这题不让你求封闭岛屿的数量，而是求封闭岛屿的面积总和。

其实思路都是一样的，先把靠边的陆地淹掉，然后去数剩下的陆地数量就行了，注意第 1020 题中1代表陆地，0代表海水：

1. int numEnclaves(int[][] grid) { 
2.     int m = grid.length, n = grid[0].length; 
3.     // 淹掉靠边的陆地 
4.     for (int i = 0; i < m; i++) { 
5.         dfs(grid, i, 0); 
6.         dfs(grid, i, n - 1); 
7.     } 
8.     for (int j = 0; j < n; j++) { 
9.         dfs(grid, 0, j); 
10.         dfs(grid, m - 1, j); 
11.     } 
12.  
13.     // 数一数剩下的陆地 
14.     int res = 0; 
15.     for (int i = 0; i < m; i++) { 
16.         for (int j = 0; j < n; j++) { 
17.             if (grid[i][j] == 1) { 
18.                 res += 1; 
19.             } 
20.         } 
21.     } 
22.  
23.     return res; 
24. } 
25.  
26. // 和之前的实现类似 
27. void dfs(int[][] grid, int i, int j) { 
28.     // ... 
29. } 

篇幅所限，具体代码我就不写了，我们继续看其他的岛屿问题。

岛屿的最大面积

这是力扣第 695 题「岛屿的最大面积」，0表示海水，1表示陆地，现在不让你计算岛屿的个数了，而是让你计算最大的那个岛屿的面积，函数签名如下：

1. int maxAreaOfIsland(int[][] grid) 

比如题目给你输入如下一个二维矩阵：

其中面积最大的是橘红色的岛屿，算法返回它的面积 6。

这题的大体思路和之前完全一样，只不过dfs函数淹没岛屿的同时，还应该想办法记录这个岛屿的面积。

我们可以给dfs函数设置返回值，记录每次淹没的陆地的个数，直接看解法吧：

1. int maxAreaOfIsland(int[][] grid) { 
2.     // 记录岛屿的最大面积 
3.     int res = 0; 
4.     int m = grid.length, n = grid[0].length; 
5.     for (int i = 0; i < m; i++) { 
6.         for (int j = 0; j < n; j++) { 
7.             if (grid[i][j] == 1) { 
8.                 // 淹没岛屿，并更新最大岛屿面积 
9.                 res = Math.max(res, dfs(grid, i, j)); 
10.             } 
11.         } 
12.     } 
13.     return res; 
14. } 
15.  
16. // 淹没与 (i, j) 相邻的陆地，并返回淹没的陆地面积 
17. int dfs(int[][] grid, int i, int j) { 
18.     int m = grid.length, n = grid[0].length; 
19.     if (i < 0 || j < 0 || i >= m || j >= n) { 
20.         // 超出索引边界 
21.         return 0; 
22.     } 
23.     if (grid[i][j] == 0) { 
24.         // 已经是海水了 
25.         return 0; 
26.     } 
27.     // 将 (i, j) 变成海水 
28.     grid[i][j] = 0; 
29.  
30.     return dfs(grid, i + 1, j) 
31.          + dfs(grid, i, j + 1) 
32.          + dfs(grid, i - 1, j) 
33.          + dfs(grid, i, j - 1) + 1; 
34. } 

解法和之前相比差不多，我也不多说了，接下来的两道岛屿问题是比较有技巧性的，我们重点来看一下。

子岛屿数量

如果说前面的题目都是模板题，那么力扣第 1905 题「统计子岛屿」可能得动动脑子了：

这道题的关键在于，如何快速判断子岛屿?肯定可以借助 Union Find 并查集算法 来判断，不过本文重点在 DFS 算法，就不展开并查集算法了。

什么情况下grid2中的一个岛屿B是grid1中的一个岛屿A的子岛?

当岛屿B中所有陆地在岛屿A中也是陆地的时候，岛屿B是岛屿A的子岛。

反过来说，如果岛屿B中存在一片陆地，在岛屿A的对应位置是海水，那么岛屿B就不是岛屿A的子岛。

那么，我们只要遍历grid2中的所有岛屿，把那些不可能是子岛的岛屿排除掉，剩下的就是子岛。

依据这个思路，可以直接写出下面的代码：

1. int countSubIslands(int[][] grid1, int[][] grid2) { 
2.     int m = grid1.length, n = grid1[0].length; 
3.     for (int i = 0; i < m; i++) { 
4.         for (int j = 0; j < n; j++) { 
5.             if (grid1[i][j] == 0 && grid2[i][j] == 1) { 
6.                 // 这个岛屿肯定不是子岛，淹掉 
7.                 dfs(grid2, i, j); 
8.             } 
9.         } 
10.     } 
11.     // 现在 grid2 中剩下的岛屿都是子岛，计算岛屿数量 
12.     int res = 0; 
13.     for (int i = 0; i < m; i++) { 
14.         for (int j = 0; j < n; j++) { 
15.             if (grid2[i][j] == 1) { 
16.                 res++; 
17.                 dfs(grid2, i, j); 
18.             } 
19.         } 
20.     } 
21.     return res; 
22. } 
23.  
24. // 从 (i, j) 开始，将与之相邻的陆地都变成海水 
25. void dfs(int[][] grid, int i, int j) { 
26.     int m = grid.length, n = grid[0].length; 
27.     if (i < 0 || j < 0 || i >= m || j >= n) { 
28.         return; 
29.     } 
30.     if (grid[i][j] == 0) { 
31.         return; 
32.     } 
33.  
34.     grid[i][j] = 0; 
35.     dfs(grid, i + 1, j); 
36.     dfs(grid, i, j + 1); 
37.     dfs(grid, i - 1, j); 
38.     dfs(grid, i, j - 1); 
39. } 

这道题的思路和计算「封闭岛屿」数量的思路有些类似，只不过后者排除那些靠边的岛屿，前者排除那些不可能是子岛的岛屿。

不同的岛屿数量

这是本文的最后一道岛屿题目，作为压轴题，当然是最有意思的。

力扣第 694 题「不同的岛屿数量」，题目还是输入一个二维矩阵，0表示海水，1表示陆地，这次让你计算 不同的 (distinct) 岛屿数量，函数签名如下：

1. int numDistinctIslands(int[][] grid) 

比如题目输入下面这个二维矩阵：

其中有四个岛屿，但是左下角和右上角的岛屿形状相同，所以不同的岛屿共有三个，算法返回 3。

很显然我们得想办法把二维矩阵中的「岛屿」进行转化，变成比如字符串这样的类型，然后利用 HashSet 这样的数据结构去重，最终得到不同的岛屿的个数。

如果想把岛屿转化成字符串，说白了就是序列化，序列化说白了遍历嘛，前文 二叉树的序列化和反序列化 讲了二叉树和字符串互转，这里也是类似的。

首先，对于形状相同的岛屿，如果从同一起点出发，dfs函数遍历的顺序肯定是一样的。

因为遍历顺序是写死在你的递归函数里面的，不会动态改变：

1. void dfs(int[][] grid, int i, int j) { 
2.     // 递归顺序： 
3.     dfs(grid, i - 1, j); // 上 
4.     dfs(grid, i + 1, j); // 下 
5.     dfs(grid, i, j - 1); // 左 
6.     dfs(grid, i, j + 1); // 右 
7. } 

所以，遍历顺序从某种意义上说就可以用来描述岛屿的形状，比如下图这两个岛屿：

假设它们的遍历顺序是：

下，右，上，撤销上，撤销右，撤销下

如果我用分别用1, 2, 3, 4代表上下左右，用-1, -2, -3, -4代表上下左右的撤销，那么可以这样表示它们的遍历顺序：

2, 4, 1, -1, -4, -2

你看，这就相当于是岛屿序列化的结果，只要每次使用dfs遍历岛屿的时候生成这串数字进行比较，就可以计算到底有多少个不同的岛屿了。

要想生成这段数字，需要稍微改造dfs函数，添加一些函数参数以便记录遍历顺序：

1. void dfs(int[][] grid, int i, int j, StringBuilder sb, int dir) { 
2.     int m = grid.length, n = grid[0].length; 
3.     if (i < 0 || j < 0 || i >= m || j >= n  
4.         || grid[i][j] == 0) { 
5.         return; 
6.     } 
7.     // 前序遍历位置：进入 (i, j) 
8.     grid[i][j] = 0; 
9.     sb.append(dir).append(','); 
10.  
11.     dfs(grid, i - 1, j, sb, 1); // 上 
12.     dfs(grid, i + 1, j, sb, 2); // 下 
13.     dfs(grid, i, j - 1, sb, 3); // 左 
14.     dfs(grid, i, j + 1, sb, 4); // 右 
15.  
16.     // 后序遍历位置：离开 (i, j) 
17.     sb.append(-dir).append(','); 
18. } 

dir记录方向，dfs函数递归结束后，sb记录着整个遍历顺序，其实这就是前文 回溯算法核心套路 说到的回溯算法框架，你看到头来这些算法都是相通的。

有了这个dfs函数就好办了，我们可以直接写出最后的解法代码：

1. int numDistinctIslands(int[][] grid) { 
2.     int m = grid.length, n = grid[0].length; 
3.     // 记录所有岛屿的序列化结果 
4.     HashSet<String> islands = new HashSet<>(); 
5.     for (int i = 0; i < m; i++) { 
6.         for (int j = 0; j < n; j++) { 
7.             if (grid[i][j] == 1) { 
8.                 // 淹掉这个岛屿，同时存储岛屿的序列化结果 
9.                 StringBuilder sb = new StringBuilder(); 
10.                 // 初始的方向可以随便写，不影响正确性 
11.                 dfs(grid, i, j, sb, 666); 
12.                 islands.add(sb.toString()); 
13.             } 
14.         } 
15.     } 
16.     // 不相同的岛屿数量 
17.     return islands.size(); 
18. } 

这样，这道题就解决了，至于为什么初始调用dfs函数时的dir参数可以随意写，这里涉及 DFS 和回溯算法的一个细微差别，前文 图算法基础 有写，这里就不展开了。

以上就是全部岛屿系列问题的解题思路，也许前面的题目大部分人会做，但是最后两题还是比较巧妙的，希望本文对你有帮助。

原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s/IZQkb-M27dt-AZ1VICThOw