1. 对测度是 $\sigma$ 有限的情形证明 Radon-Nikodym 定理.
证明: 设 $\mu,\nu$ 均为 $\sigma$ 有限的非负测度, 则存在分割 $$\bex X=\cup_{i=1}^\infty X_i=\cup_{j=1}^\infty Y_j \eex$$ 使得 $$\bex \mu(X_i)<\infty,\quad \nu(Y_j)<\infty. \eex$$ 写出 $$\bex X=\cup_{i,j=1}^\infty (X_i\cap Y_j), \eex$$ 则 $$\bex \mu(X_i\cap Y_j)<\infty,\quad \nu(X_i\cap Y_j)<\infty. \eex$$ 据测度有限的情形的结果, $$\bex \nu(E_{ij})=\int_{E_{ij}} g_{ij}\rd \mu,\quad \forall\ E_{ij}\subset X_i\cap Y_j. \eex$$ 于是 $$\bex \nu(E)=\int_E \sum_{i,j}g_{ij}\rd \mu,\quad\forall\ E\subset X. \eex$$
2. 验证 $C_0^\infty(D)$ 关于上面的两个内积都是内积空间.
证明: $$\bex \int_D \sum |f_j|^2\rd x=0 \lra f_j=0\ (\forall\ j) \lra f=\const\lra f\equiv 0.\eex$$
错误指出:
Page 53, (16) 式上两行的和应该为即.