在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别是K、O、N、M、L。
求证：K、O、N、M、L五点共圆。
要证K、L、M、N、O五点共圆，分别证明K、L、M、N四点共圆和L、M、N、O四点共圆。
下面证明证明K、L、M、N四点共圆：
连接KL、LM、MN、NK，即证明∠LMN + ∠LKN = 180°
我们先证明A、C、N、K 四点共圆，因为证明∠LMN + ∠LKN = 180°需要用到。
连接NC、NI、NH
∠ACN + ∠AIN
= ∠NHD + ∠AIN
= ∠NID + ∠AIN
=180°
故 A、C、N、I 四点共圆
同理，A、K、N、I 四点共圆
所以，A、C、N、K 四点共圆
∠LMN = ∠LMG + ∠GMN （连接LF、GM） ①
∠LMG = 180°- ∠LFG = ∠LFA = ∠LKA②
∠GMN = ∠GCN = ∠ACN = 180°- ∠AKN （因为A、C、N、K 四点共圆） ③
联立①②③得
∠LMN = ∠LKA + （180°- ∠AKN） ④
④ 两边同时加∠AKN得
∠LMN + ∠AKN = ∠LKA + （180°- ∠AKN）+ ∠AKN = 180°，得证。
故 K、L、M、N四点共圆；
同理可得 L、M、N、O四点共圆；
故 K、L、M、N、O五点共圆。