教你如何利用python进行数值分析

一、准备

噪声是在拟合过程中常用的干扰手段，常用的噪声：

1.统一分布 U(a,b)

f ( x ) = { 1 i f a ≤ x < b 0 o t h e r f(x)=begin{cases}begin{aligned}1&quad ifquad ale x<b 0&quad otherend{aligned}end{cases} f(x)={10​ifa≤x<bother​​

import numpy as np
x=np.random.uniform(a,b,100) #产生长度为100的U(a,b)

2.正态分布N( μ mu μ, σ 2 sigma^2 σ2)

import numpy as np
x=np.random.normal(mu, sig, 100) #产生长度为100的N(mu, sqart(sig))

二、三次样条插值

def spline_fit():
	size = 20
    x = np.linspace(-10, 10, size)
    y = np.sin(x) + np.random.normal(0, 0.1, size)
    y2 = [0] * len(y)
    # for y_i in y:

    pp.plot(x, y)
    cs = CubicSpline(x, y)
    x2 = x = np.linspace(-10, 10, size * 100)
    pp.plot(x2, cs(x2))
    pp.show()

三、最小二乘拟合

def least_square():
    f = lambda p0, xx: p0[0] * np.sin(xx * p0[1]) + p0[2]
    LEN = 100
    x = np.linspace(-1, 1, LEN)
    y = x ** 2 + 5
    # 默认情况，param只会返回求得的参数和返回的错误码，1-4为成功，5-8为失败，如果想输出更多参数，可以指定full_out=1，可以看到出错原因和其他参数
    param = leastsq(lambda p0, xx, yy: f(p0, xx) - yy, (1, 1, 1), args=(x, y)) #初值的选择比较重要，如果选取不当，容易陷入局部最优
    print(param)
    pp.scatter(x, y)
    p0 = param[0]
    pp.plot(x, f(p0, x))
    pp.show()

最小二乘的初值选取非常重要，以下是三份完全相同的数据，虽然最后都收敛了，但是初值不同，得到了完全不同的拟合结果
初值为 ( 1 , 2 , 1 ) (1,2,1) (1,2,1)

初值为 ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) (1,1,1)

初值为 ( 10 , 10 , 1 ) (10,10,1) (10,10,1)

四、拉格朗日乘子法

def lagrange()
	from scipy.optimize import minimize
    import numpy as np
    e = 1e-10
    fun = lambda x: 8 * (x[0] * x[1] * x[2])  # f(x,y,z) =8 *x*y*z
    cons = ({"type": "eq", "fun": lambda x: x[0] ** 2 + x[1] ** 2 + x[2] ** 2 - 1},  # x^2 + y^2 + z^2=1
            {"type": "ineq", "fun": lambda x: x[0] - e},  # x>=e等价于 x > 0
            {"type": "ineq", "fun": lambda x: x[1] - e},
            {"type": "ineq", "fun": lambda x: x[2] - e}
            )
    x0 = np.array((1.0, 1.0, 1.0))  # 设置初始值
    res = minimize(fun, x0, method="SLSQP", constraints=cons)
    print("最大值：", res.fun)
    print("最优解：", res.x)
    print("迭代终止是否成功：", res.success)
    print("迭代终止原因：", res.message)

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