前言
本篇章主要介绍二叉树的应用之一------二叉排序树，包括二叉排序树的定义、查找、插入、构造、删除及查找效率分析。
1. 二叉排序树的定义
二叉排序树 ( B i n a r y (Binary (Binary S o r t Sort Sort T r e e , B S T ) Tree,BST) Tree,BST)，也称为二叉查找树，具有以下性质：
(1) 若左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
(2) 若右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
(3) 左、右子树也分别是一棵二叉排序树。
综上可知，在二叉排序树中：左子树结点的值 < 根结点的值 < 右子树结点的值，所以对二叉排序树进行中序遍历，可以得到一个递增的有序序列。
2. 二叉排序树的查找
二叉排序树的查找是从根结点开始，沿某个分支逐层向下比较的过程。若二叉排序树非空，先将给定的关键字与根结点的关键字进行比较，若相等，则查找成功；若不相等，如果小于根结点的关键字，则在根结点的左子树上查找，如果大于根结点的关键字，则在根结点的右子树上查找。
二叉排序树的查找算法：
def BSTSearch(self, k):
TreeNode = self.RootNode
while TreeNode is not None and k != TreeNode.data:
if k < TreeNode.data:
TreeNode = TreeNode.lchild
else:
TreeNode = TreeNode.rchild
return TreeNode
3. 二叉排序树的插入
二叉排序树作为一种动态树表，它的结构通常不是一次生成的，而是在查找过程中，当树中不存在关键字等于给定值的结点时插入的。
插入过程如下：若二叉排序树为空，则直接插入结点；若非空，先将给定的关键字与根结点的关键字进行比较，若小于根结点的关键字，则插入左子树，若大于根结点的关键字，则插入右子树。插入的结点一定是一个新添加的叶结点，且是查找失败时的查找路径*问的最后一个结点的左孩子或右孩子。
二叉排序树的插入算法：
def BSTInsert(self, k):
TreeNode = self.RootNode
if TreeNode is None:
self.RootNode = BiTreeLinkNode(k)
return True
while True:
if k < TreeNode.data:
if TreeNode.lchild is None:
TreeNode.lchild = BiTreeLinkNode(k)
return True
TreeNode = TreeNode.lchild
elif k > TreeNode.data:
if TreeNode.rchild is None:
TreeNode.rchild = BiTreeLinkNode(k)
return True
TreeNode = TreeNode.rchild
else:
return False
4. 二叉排序树的构造
二叉排序树的构造过程如下：从一棵空树出发，依次输入元素，将它们插入树中的合适位置。关键字的序列不同，构造出来的二叉排序树也会有所不同，比如下图：
二叉排序树的构造算法：
def CreateBST(self):
for val in self.data_list:
self.BSTInsert(val)
return self.RootNode
5. 二叉排序树的删除
在二叉排序树中删除一个结点时，不能把以该结点为根的子树上的结点都删除，必须先把被删除的结点从存储二叉排序树的链表上摘下，将因删除结点而断开的二叉链表重新连接起来，同时确保二叉排序树的性质不会丢失。具体分三种情况：
(1) 如果被删除的结点是叶结点，可以直接删除；
(2) 如果被删除的结点只有一棵左子树或右子树，需要让该结点的子树成为该结点的父结点的子树，以替代被删除结点的位置；
(3) 被删除的结点有左子树和右子树，需要用该结点的直接后继来代替该结点的位置，然后从二叉排序树中删去这个直接后继。
6. 二叉排序树的查找效率分析
如果二叉排序树的左、右子树的高度之差的绝对值不超过1，则这样的二叉树称为平衡二叉树，它的平均查找长度为 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)；如果二叉排序树是一个只有左子树或右子树的单支树(类似于有序的单链表)，则它的平均查找长度为 O ( n ) 。
在等概率情况下，有序列 { 2 , 1 , 4 , 3 }成的排序二叉树的查找成功的平均查找长度为
有序列 { 1 , 2 , 3 , 4 } 构成的排序二叉树的查找成功的平均查找长度为
二叉排序树的查找效率主要取决于树的高度，如果要提高查找效率，在构造二叉排序时最好不要使用有序的序列，尽量构造平衡二叉树。
有关平均查找长度 A S L ASL ASL的知识会在查找这部分再说。
总结
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