汉明码(Hamming)编码与纠错原理

时间:2022-09-28 20:21:46

一 汉明码的编解码说明
(一)编码
  Hamming(12,8)
  N=12,表示编码后的比特长度
  K=8,待编码数据的比特长度
  R=N-K=4,校验位的比特长度
  D=3 汉明距离:相邻行之间不同比特数据的最小值
  (D-1)/2=1 纠错能力

  表格1:
  ----------------------------------------------------------------------------------------------------
          单位矩阵(I)                                       生成校验位的矩阵(P)
  ----------------------------------------------------------------------------------------------------
  标号   11      10       9       8       7      6      5     4           3         2     1      0
  编号     x^7     x^6    x^5   x^4   x^3   x^2   x^1   1           c3      c2    c1    c0
  7       1        0       0       0       0      0       0     0           1        1      1      0
  6            0        1       0       0       0      0       0     0           0        1      1      1
  5            0        0       1       0       0      0       0     0           1        0      1      0
  4            0        0       0       1       0      0       0     0           0        1      0      1
  3            0        0       0       0       1      0       0     0           1        0      1      1
  2            0        0       0       0       0      1       0     0           1        1      0      0
  1            0        0       0       0       0      0       1     0           0        1      1      0
  0            0        0       0       0       0      0       0     1           0        0      1      1
  ---------------------------------------------------------------------------------------------------

  G是生成矩阵见表格1
  A[7:0]
  CODE=G x A
  CODE[11]=A[7]
  CODE[10]=A[6]
    ...
  CODE[4]=A[0]
  CODE[3]=A[7]^A[5]^A[3]^A[2] (^为异或)
  CODE[2]=A[7]^A[6]^A[4]^A[2]^A[1]
  CODE[1]=A[7]^A[6]^A[5]^A[3]^A[1]^A[0]
  CODE[0]=A[6]^A[4]^A[3]^A[0]

  (二)解码
    1.求校验矩阵H
      H = {P^T,I(N-K)} (^T表示转置; I(N-K)=I(4)表示4x4单位矩阵)
      H为4x11矩阵

      表2:
      ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
        11    10   9   8   7   6   5   4   3   2   1   0
      -----------------------------------------------------------------------------------------------------------
         p7   p6   p5 p4     p3  p2  p1   P0   I3    I2   I1   I0
      -----------------------------------------------------------------------------------------------------------
      3      1      0     1   0   1     1   0   0   1   0   0   0
      2      1      1     0   1   0     1   1   0   0   1   0   0
      1      1      1     1   0   1     0   1   1   0   0   1   0
      0      0      1     0   1   1     0      0   1   0   0   0   1
      ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
    2.求校正子S
        S = H^T * U (U为待解码的数据)
        S[3] = U[11]^U[9]^U[7]^U[6]^U[3]
        S[2] = U[11]^U[10]^U[8]^U[6]^U[5]^U[2]
        S[1] = U[11]^U[10]^U[9]^U[7]^U[5]^U[4]^U[1]
        S[0] = U[10]^U[8]^U[7]^U[4]^U[0]
    3.根据假设错误模式定位错误比特
      通过错误模式推导校正子Si,i是index指的是错误模式的种类,因为我们汉明码解码数据有12bit,
    所以错误模式有12种,还包括一种全部正确的模式。
      Si = H^T * Ei

      表3:
      -----------------------------------------------------------------------------
      Ei              H^T       Si      编号
      ----------------------------------------------------------------------------
      12'b0000_0000_0000   1110     0000
      12'b0000_0000_0001   0111     0001    0
      12'b0000_0000_0010   1010       0010    1
      12'b0000_0000_0100   0101     0100    2
      12'b0000_0000_1000   1011     1000    3
      12'b0000_0001_0000   1100     0011    4
      12'b0000_0010_0000   0110     0110    5
      12'b0000_0100_0000   0011     1100    6
      12'b0000_1000_0000   1000     1011    7
      12'b0001_0000_0000   0100     0101    8
      12'b0010_0000_0000   0010     1010    9
      12'b0100_0000_0000   0001     0111    10
      12'b1000_0000_0000           1110    11
      ----------------------------------------------------------------------------
    4.优化数据修正方法
      C[11] = U[11]^(S[3]&S[2]&S[1]&(~S[0]))
      C[10] = U[10]^(~S[3]&S[2]&S[1]&S[0])
      C[9] = U[9]^(S[3]&(~S[2])&S[1]&(~S[0]))
      C[8] = U[8]^(S[3]&(~S[2])&S[1]&S[0])
      C[7] = U[7]^(S[3]&(~S[2])&S[1]&S[0])
      C[6] = U[6]^(S[3]&S[2]&(~S[1])&(~S[0]))
      C[5] = U[5]^((~S[3])&S[2]&S[1]&(~S[0]))
      C[4] = U[4]^((~S[3])&(~S[2])&S[1]&S[0])
      C[3] = U[3]^(S[3]&(~S[2])&(~S[1])&(~S[0]))
      C[2] = U[2]^((~S[3])&S[2]&(~S[1])&(~S[0]))
      C[1] = U[1]^((~S[3])&(~S[2])&S[1]&(~S[0]))
      C[0] = U[0]^((~S[3])&(~S[2])&(~S[1])&S[0])

      例如:
        待编码数据:8'b0011_0101
        编码后数据:CODE[11:4] = 0011_0101
              CODE[3:0] = 0000
              CODE[11:0] = 12'b0011_0101_0000
        经过信道,假设接收到的数据:
              U[11:0] = 12'b0011_0101_0001
        校正子:
            S[3] = 0
            S[2] = 0
            S[1] = 0
            S[0] = 1
            S[3:0] = 4'b0001
        根据表3,可知是在接收数据的最低位发生错误

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