求等差数列前$n$项和$S_n$的最值

时间:2022-04-02 03:14:13

一、方法依据:

已知数列\(\{a_n\}\)是等差数列,首项为\(a_1\),公差为\(d\),前\(n\)项和为\(S_n\),则求\(S_n\)的最值常用方法有两种:

(1)、函数法:由于\(S_n=\cfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\cfrac{n(n-1)}{2}d=\cfrac{d}{2}n^2+(a_1-\cfrac{d}{2})n\),

令\(A=\cfrac{d}{2}\),\(B=a_1-\cfrac{d}{2}\),则\(S_n=An^2+Bn\),

即\(S_n\)是\(n\)的仿二次函数,其特殊在常数项为0。这样,我们通过配方或借助函数图像求二次函数最值的方法,就可以求得\(S_n\)的最值。

比如求数列\(a_n=-\cfrac{1}{2}n+3\),则\(S_n=-\cfrac{n^2}{4}+\cfrac{11}{4}n\),

则可知\([S_n]_{max}=S_5=S_6\)。

(2)、邻项变号法:

①\(a_1>0\),\(d<0\)时,满足\(\begin{cases}a_m\ge 0\\a_{m+1}\leq 0\end{cases}\)的项数\(m\)使得\(S_n\)取得最大值为\(S_m\);

即所有正数项的和有最大值。数列如\(a_n=\cfrac{1}{2}n-3\);

②\(a_1<0\),\(d>0\)时,满足\(\begin{cases}a_m\leq 0\\a_{m+1}\ge 0\end{cases}\)的项数\(m\)使得\(S_n\)取得最小值为\(S_m\);

即所有负数项的和有最小值。数列如\(a_n=-\cfrac{1}{2}n+3\);

二、典例剖析

例1

已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\),且有\(a_1=7\),公差为\(d\),当且仅当\(n=8\)时\(S_n\)取到最大值,求\(d\)的取值范围。

分析:由题意可知,\(n=8\)时\(S_n\)取到最大值,

则必有\(\begin{cases}d<0\\a_8>0\\a_9<0\end{cases}\),即\(\begin{cases}d<0\\7+7d>0\\7+8d<0\end{cases}\),

解得\(-1<d<-\cfrac{7}{8}\)。

例2

等差数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1>0\),设其前\(n\)项和为\(S_n\),且\(S_5=S_{12}\),则当\(n\)为何值时,\(S_n\)有最大值?

法1:二次函数法,设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\),由\(S_5=S_{12}\),

得到\(5a_1+10d=12a_1+66d\),解得\(d=-\cfrac{1}{8}a_1<0\),

所以\(S_n=na_1+\cfrac{n(n-1)d}{2}\)

\(=na_1+\cfrac{n(n-1)}{2}\cdot (-\cfrac{1}{8}a_1)\)

\(=-\cfrac{1}{16}a_1(n^2-17n)\)

\(=-\cfrac{1}{16}a_1(n-\cfrac{17}{2})^2+\cfrac{289}{64}a_1\),

由于\(a_1>0\),\(n\in N^*\),故\(n=8\)或\(n=9\)时,\(S_n\)有最大值;

法2:邻项变号法,设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\),由\(S_5=S_{12}\),

得到\(5a_1+10d=12a_1+66d\),解得\(d=-\cfrac{1}{8}a_1<0\),

设数列的前\(n\)项的和最大,则有\(\left\{\begin{array}{l}{a_n\ge 0}\\{a_{n+1}\leq 0}\end{array}\right.\)

即\(\left\{\begin{array}{l}{a_n=a_1+(n-1)\cdot (-\cfrac{1}{8}a_1)\ge 0}\\{a_{n+1}=a_1+n\cdot (-\cfrac{1}{8}a_1)\leq 0}\end{array}\right.\)

解得\(\left\{\begin{array}{l}{n\leq 9}\\{n\ge 8}\end{array}\right.\),即\(8\leq n\leq 9\),

又\(n\in N^*\),所以当\(n=8\)或\(n=9\)时,\(S_n\)有最大值;

例3【2014北京高考卷】
若等差数列\(\{a_n\}\)满足\(a_7+a_8+a_9>0\),\(a_7+a_{10}<0\),则当\(n\)=___________时,数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和最大。

分析:由题意,\(a_7+a_8+a_9=3a_8>0\),则\(a_8>0\),

又\(a_7+a_{10}=a_8+a_9<0\),则\(a_9<0\),

故当\(n=8\)时,数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和最大。

例4【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅰ第9题】

等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\),若公差\(d>0\),若\((S_8-S_5)(S_9-S_5)<0\),则【】

$A.a_7=0$ $B.|a_7|=|a_8|$ $C.|a_7|>|a_8|$ $D.|a_7|

分析:由题目可知,数列为单调递增数列,则有\(S_8-S_5<0\),且\(S_9-S_5>0\)

即\(S_8-S_5=a_6+a_7+a_8=3a_7<0\),\(a_7<0\),

\(S_9-S_5=a_6+a_7+a_8+a_9=2(a_7+a_8)>0\),即\(a_8>0\),且\(|a_8|>|a_7|\),故选\(D\)。

例5【2018吉林长春外国语学校二模】在等差数列\(\{a_n\}\)中,\(a_1>0\),\(a_{2016}+a_{2017}>0\),\(a_{2016}\cdot a_{2017}<0\),则使前\(n\)项和\(S_n>0\)成立的最大自然数\(n\)的值为【】

$A.2016$ $B.2017$ $C.4031$ $D.4032$

分析:由于\(\{a_n\}\)是等差数列,\(a_1>0\),\(a_{2016}+a_{2017}>0\),\(a_{2016}\cdot a_{2017}<0\),

则\(a_{2016}>0\),\(a_{2017}<0\),\(d<0\),且\(|a_{2016}|>|a_{2017}|\),

则可知前\(n\)项和\(S_n\)的最大值为\(S_{2016}\),但是本题目所求不是这个东东,注意了。

又由于\(S_{4032}=\cfrac{(a_1+a_{4032})4032}{2}=2016(a_{2016}+a_{2017})>0\),\(S_{4033}=\cfrac{(a_1+a_{4033})4033}{2}=4033\cdot a_{2017}<0\),

故使前\(n\)项和\(S_n>0\)成立的最大自然数\(n\)的值为4032,故选\(D\)。

对应练1若在等差数列\(\{a_n\}\)中,\(a_1<0\),\(a_{2017}+a_{2018}>0\),\(a_{2017}\cdot a_{2018}<0\),则使前\(n\)项和\(S_n<0\)成立的最大自然数\(n\)的值为_______。提示:4033;

对应练2在等差数列\(\{a_n\}\)中,\(-1<\cfrac{a_7}{a_6}<0\),若它的前\(n\)项和有最大值,则当\(S_n>0\)成立的最大自然数\(n\)的值为【】

$A.11$ $B.12$ $C.13$ $D.14$

提示:由于它的前\(n\)项和有最大值,则必然有\(a_1>0\),\(d<0\),则可知\(a_6>0\),这样得到\(-a_6<a_7<0\),即\(a_6>0\),\(a_7<0\),\(a_6+a_7>0\),故\(S_{12}>0\),\(S_{13}<0\),选\(B\).

例6设等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\),\(a_1=9\),\(\cfrac{S_9}{9}-\cfrac{S_5}{5}=-4\),则\(S_n\)取最大值时的\(n\)是【】

$A.4$ $B.5$ $C.6$ $D.4或5$

分析:由于\(\{a_n\}\)为等差数列,公差为\(d\),则\(s_n=na_1+\cfrac{n(n-1)}{2}d\),则\(\cfrac{S_n}{n}=a_1+\cfrac{n-1}{2}d\),即数列\(\{\cfrac{S_n}{n}\}\)为等差数列,

由\(\cfrac{S_9}{9}=a_1+\cfrac{9-1}{2}d\)①,\(\cfrac{S_5}{5}=a_1+\cfrac{5-1}{2}d\)②,①-②得到,

\(\cfrac{S_9}{9}-\cfrac{S_5}{5}=2d=-4\),则\(d=-2\),故数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=11-2n\),令\(a_n\ge 0\),解得\(n\leq 5\),

故\(S_n\)取最大值时的\(n\)是5,故选\(B\)。

例9【2019届高三理科数学二轮用题】已知数列\(\{a_n\}\)满足\(t\cdot S_n=n^2-12n\),其中\(S_n\)为数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和,若\(a_1+a_3+a_5=42\),\(a_2+a_4=28\),则当\(S_n\)取最大值时,\(n=\)【】

$A.7$ $B.6$ $C.5$ $D.4$

分析:简单记录思路,由\(a_n\)与\(S_n\)的关系先求得\(a_n=\cfrac{2n-13}{t}\),利用\(a_2+a_4=28\),求得\(t=-\cfrac{1}{2}\),

这样\(a_n=26-4n\),令\(a_n>0\),解得\(n\leq 6\),由邻项变号法可知,\(S_6\)最大,故选\(B\)。

例10【2019届高三理科数学三轮模拟用题】已知数列\(\{a_n\}\)满足\(2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}(n\ge 2)\),其中\(S_n\)为数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和,若\(a_1=22\),且\(S_8=S_{15}\),则当\(S_n\)取最大值时,\(n=\)【】

$A.11$ $B.12$ $C.11或12$ $D.12或13$

提示:由\(a_1=22\),且\(S_8=S_{15}\),求得\(d=-2\),则\(a_n=-2n+24\),令\(a_n\ge 0\),则\(n\leq 12\),且\(a_{12}=0\),故选\(C\)。

三、思路引申

在前有限项为正项的等差数列中,所有正项的和最大,在前有限项为负项的等差数列中,所有负项的和最小,

在正项等比数列中,所有小于1的正项的乘积最小,所有大于1的正项的乘积最大;

例1

已知\(S_n\)是等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和,\(a_1=30\),\(8S_6=9S_3\),设\(T_n=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_n\),则使\(T_n\)取得最大值的\(n\)为多少?

法1:函数法,\(a_1=30\),由\(8S_6=9S_3\)得到\(q=\cfrac{1}{2}\),故\(a_n=30\cdot(\cfrac{1}{2})^{n-1}\),\(T_n=a_1\cdot a_2\cdots a_n=30\cdot[30\cdot(\cfrac{1}{2})]\cdots [30\cdot(\cfrac{1}{2})^{n-1}]=30^n\cdot (\cfrac{1}{2})^{1+2+\cdots+(n-1)}=30^n\cdot (\cfrac{1}{2})^{\cfrac{n(n-1)}{2}}\),题目到此,思路受阻。

法2:\(a_1=30\),由\(8S_6=9S_3\)得到\(q=\cfrac{1}{2}\),故\(a_n=30\cdot(\cfrac{1}{2})^{n-1}\),由于\(T_n\)为乘积式,故使得\(T_n\)取得最大值时,必有\(a_n\ge 1\),由此得到\(n\leq 5\)。故\(n_{max}=5\)。

例2【2016新课标1卷第15题】设等比数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1+a_3=10\),\(a_2+a_4=5\),则\(T_n=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_n\)的最大值是多少?

法1:函数法,容易求得\(a_1=8,q=\cfrac{1}{2}\),则\(a_n=8\cdot(\cfrac{1}{2})^{n-1}\);故\(T_n=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_n=8^n\cdot (\cfrac{1}{2})^{\cfrac{n(n-1)}{2}}=2^{\cfrac{-n^2+7n}{2}}=2^{\cfrac{-(n-\cfrac{7}{2})^2+\cfrac{49}{4}}{2}}\),故当\(n=3或4\)时,\(T_n\)有最大值,\((T_n)_{max}=2^6=64\);

法2:仿上法2,使得\(T_n\)取得最大值时,必有\(a_n\ge 1\),由此得到\(n\leq 4\)。计算得到\(a_1=8\),\(a_2=4\),\(a_3=2\),\(a_4=1\),\(a_5=\cfrac{1}{2}\),故\(T_n\leq T_4=a_1a_2a_3a_4=64\);

【解后反思】

1、等差数列中由\(a_n\)的正负确定数列前\(n\)项之和\(S_n\)的最值:当\(a_1<0,d>0\)时,所有负项之和最小;当\(a_1>0,d<0\)时,所有正项之和最大;

2、正项等比数列中由\(a_n\)的值的范围,确定数列前\(n\)项之积\(T_n\)的最值:当\(a_n\ge 1\)时,\(T_n\)最大;

3、求\(S_n\)的最值时,分界为0;求\(T_n\)的最值时,分界为1;作差法与0做大小比较,作商法与1做大小比较。

例3已知递增等比数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1=\cfrac{1}{2020}\),若\(3a_3=2a_2+a_4\),则使得\(a_1a_2\cdot a_n\)取得最小值的正整数\(n\)为_________。

分析:由数列\(\{a_n\}\)为递增等比数列,则可知\(q>1\),

又由\(3a_3=2a_2+a_4\)解得,\(q=2\)或\(q=1\)(舍去)

故其通项公式为\(a_n=\cfrac{1}{2020}\cdot 2^{n-1}\),由于所有小于1的正项的乘积最小,

故令\(a_n\leq 1\),即\(2^{n-1}\leq 2020\),解得\(n\leq 11\),故所求的\(n\)为\(11\)。

四、备用习题

例1【非等差数列的前\(n\)项和的最值】

设等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\),\(S_{m-1}=13\),\(S_m=0\),\(S_{m+1}=-15\),其中\(m\in N^*\)且\(m\ge 2\),则数列\(\{\cfrac{1}{a_n\cdot a_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和的最大值为【】

$A.\cfrac{24}{143}$ $B.\cfrac{1}{143}$ $C.\cfrac{24}{13}$ $D.\cfrac{6}{13}$

分析:由题可知,\(a_m=S_m-S_{m-1}=-13\),\(a_{m+1}=S_{m+1}-S_m=-15\),故\(d=-2\),

又由\(S_{m-1}=13\),\(S_m=0\),可得出\(a_1=13\),故\(a_n=15-2n\);

或仅仅由\(S_m=\cfrac{(a_1+a_m)m}{2}=0\),可得到\(a_1=13\);

故数列\(\{\cfrac{1}{a_n\cdot a_{n+1}}\}\)的通项公式为\(b_n=\cfrac{1}{a_n\cdot a_{n+1}}=\cfrac{1}{(15-2n)(13-2n)}=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{13-2n}-\cfrac{1}{15-2n})\),

所求数列的前\(n\)项和的最大值,即关键是求得数列\(\{b_n\}\)中哪些项都是正项,由\(15-2n>0\)且\(13-2n>0\)得到\(n\leq 6\),
故所求数列的最大值为\(\cfrac{1}{2}\times [(\cfrac{1}{11}-\cfrac{1}{13})+(\cfrac{1}{9}-\cfrac{1}{11})+(\cfrac{1}{7}-\cfrac{1}{9})+\cdots+(1-\cfrac{1}{3})]\)

\(=\cfrac{1}{2}\times (1-\cfrac{1}{13})=\cfrac{6}{13}\)。