前言：
本次实验是用EM来学习HMM中的参数，并用学好了的HMM对一些kinect数据进行动作分类。实验内容请参考coursera课程：Probabilistic Graphical Models 中的的最后一个assignmnet.实验用的是kinect关节点数据，由于HMM是一个时序模型，且含有隐变量，所以这个实验不是很好做。大家对HMM不熟悉的话可以参考网友的实验:code.
kinect人体关节数据中， 每个关节点由3个坐标数据构成，多个关节点数据(实验中为10个)构成一个pose,多个pose构成一个action，每个action所包含的pose个数可能不等。其示意图如下：
图中有3个action: clap, high kick, low kick. 而每个action可以由不同的pose序列构成，上面的每个action中列举出了3种情况，其长短可不一。在HMM模型中，上面模型中每个节点代表的是观察节点，代表一个pose,该pose可由状态变量(隐变量)产生，比如具有3个pose的action示意图如下：
其中的状态变量S1,S2,S3并不是该pose的action标签，而是介于pose和action之间的一个隐藏类别，它与action和pose数据同时有关，这里state的物理意义不是十分明确，state节点的个数可由验证集通过实验来确定。
实验中一些函数的简单说明：
[P loglikelihood ClassProb] = EM_cluster(poseData, G, InitialClassProb, maxIter):
实验1的内容。poseData大小为N*10*3，表示N个pose的数据。G，P和练习八意思一样，为模型的结构信息。InitialClassProb大小为N*K，表示这N个样本分别属于K个类别的初始概率，ClassProb表示EM聚类完成后这N个样本属于各个类别的概率值。loglikelihood中保存的是每次EM迭代时的log似然值。模型中的隐变量为每个样本所属的类别。程序中的E步是：给定模型中的参数(每个关节点的CLG参数)，求出每个样本属于各个类别的概率。M步为：给定每个样本属于K个类别的概率后，来求模型中每个关节点的参数。
[mu sigma] = FitG(X, W):
该函数类似于练习八中的FitGaussianParameters(),只是这里每个样本多了一个可信度权值，求高斯参数的时候需要把这个权值考虑进去。
[Beta sigma] = FitLG(X, U, W):
该函数类似于练习八中的FitGaussianParameters()，也是多了一个参数W，表示输入进来的数据X和父节点数据U的可信度为W中对应的值。每个state都会学习到的自己的参数beta和sigma,为HMM模型中的发射矩阵。
out = logsumexp(A):
很明显是求exp(A)，然后求和，最后取log值，内部采用了防止数据溢出的方法。如果A是一个矩阵，则上面的操作是针对A的每一行进行的。
[P loglikelihood ClassProb PairProb] = EM_HMM(actionData, poseData, G, InitialClassProb, InitialPairProb, maxIter):
实验2的内容。参数结构比较复杂，简单介绍下。
actionData结构体向量：该向量中的每一个元素都是一个action。action.action表示对应动作的名称，在本函数中，因为是训练某个类别的HMM模型，所以其名称都一样。action.marg_ind,表示该action的pose数据在poseData向量中的行索引，同时也为pose属于各个state的概率值在ClassProb中的索引。action.pair_ind:action中连续的pose之间的边在PairProb中的索引,PairProd矩阵中的每一行表示对应edge两端之间的state转移概率。
poseData, G, InitialClassProb,maxIter和前面的差不多。
InitialPairProb:大小为V*K^2的矩阵,其中V为模型中边的数目，K为HMM模型中状态的个数，该矩阵与HMM转移矩阵的计算有关。
博文前面的HMM action示意图中对应的poseData, PairProb值形式如下所示：
返回值P和以前的P结构稍有不同，因为这里考虑到了HMM之间的状态转移，所以有P.transMatrix来表示HMM中状态转移矩阵，尺寸为K*K。另外P.c不再表示每个pose所属action的概率分布，而是初始状态分布。P.c表示在这些数据下，这个action对应state的先验概率。
EM_HMM()函数的作用是：用某个action的序列样本actionData来训练它的HMM模型，对应的模型参数包括转移概率，发射概率(包括各个状态下的关节点参数)，初始概率。主要分为2个步骤：E步：给定参数，通过clique tree求数据;M步：给定数据，求HMM参数,比如初始状态分布计算：
转移概率的计算公式为：
与发射概率相关的CLG参数计算参考练习八。
[M, PCalibrated] = ComputeExactMarginalsHMM(F):
F为HMM模型的factorlist,M为在该模型上进行精确推导的条件概率，与以前练习4实验中的推理类似。PCalibrated为校正好的clique tree,
[accuracy, predicted_labels] = RecognizeActions(datasetTrain, datasetTest, G, maxIter):
实验3的内容。datasetTrain为训练HMM模型时的样本，它是长度为3的向量(本实验只有3个动作类别)，每个元素都是一个结构体。第1个结构体表示动作clap的数据，结构体中包含了actionData, poseData, InitialClassProb, InitialPairProb信息。第2个结构体为high_kick动作的数据，第3个结构体为low_kick动作的数据。datasetTest为测试样本，也是一个结构体，里面有actionData,poseData和labels. labels对应每个action的标签，“clap” = 1, “high kick” = 2, “low kick” = 3。实现该函数时首先用datasetTrain训练3个HMM模型参数，然后针对datasetTest中的每个action数据，计算它的posedata在每个模型各个状态下的概率。然后在这3个模型上分别建立clique tree，并算出生成这些样本的概率，概率值最大的那个模型对应的action为其分类类别。
相关理论知识点：
这部分可参考Corsera中的课件以及网友demonstrate的blog:PGM 读书笔记节选（十四）
不完全数据(incomplete data)主要包含2部分：缺失数据(missing data)和含隐变量的数据。
缺失数据又分2种情况：一是数据样本中有一些没有被观察到的量，一般用问号代替。另外一种是数据样本中直接少了一些数据，至于少了哪些数据，在哪些位置(序列数据)少了数据，都无法知道。
Missing at Random(MAR):随机缺失的一些样本，此时在给定观察到的样本条件下，没被观察的样本与控制缺失的开关变量相互独立。
带有隐变量的Likelihood函数值会有多个极值点，并且极值点的个数与隐变量的个数成指数关系(实际上，这些局部极值的log似然值也不相同)。带缺失数据的情形与之类似。有多个极值点的函数时即使学习到了其中一个极值点的参数，这组参数也未必就是模型中的true parameters. 隐变量的likelihood的另一个缺点就是likelihood函数不能按照变量和CPD等来局部分解，并且模型中一些不相关的参数也开始相关了(引入了新的v-structure)。
带隐变量likelihood函数参数的求解虽然可以采用一些高级的梯度下降法，但实际中用得较多的是EM算法。关于EM算法可以参考我前面的博文对EM算法的简单理解. 在隐变量likelihood这里，简单来说E步为给定模型参数，产生”完全”数据(把那些隐变量的数据也生成出来);M步为给定”完全”数据，计算模型参数。EM算法的特点是在前面迭代过程中收敛速度较快，越到后面收敛越慢。
梯度下降法是沿着一条直线进行搜索，而EM算法是沿着一个凸函数曲线来搜索其极值，有理论保证EM算法迭代过程中对应似然函数值不会下降。
参考资料：
coursera课程：Probabilistic Graphical Models