本文实例讲述了Python素数检测的方法。分享给大家供大家参考。具体如下:
因子检测:
检测因子,时间复杂度O(n^(1/2))
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def is_prime(n):
if n < 2 :
return False
for i in xrange ( 2 , int (n * * 0.5 + 1 )):
if n % i = = 0 :
return False
return True
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费马小定理:
如果n是一个素数,a是小于n的任意正整数,那么a的n次方与a模n同余
实现方法:
选择一个底数(例如2),对于大整数p,如果2^(p-1)与1不是模p同余数,则p一定不是素数;否则,则p很可能是一个素数
2**(n-1)%n 不是一个容易计算的数字
模运算规则:
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(a^b) % p = ((a % p)^b) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p
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计算X^N(% P)
可以
如果N是偶数,那么X^N =(X*X)^[N/2];
如果N是奇数,那么X^N = X*X^(N-1) = X *(X*X)^[N/2];
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def xn_mod_p(x, n, p):
if n = = 0 :
return 1
res = xn_mod_p((x * x) % p, n>> 1 , p)
if n& 1 ! = 0 :
res = (res * x) % p
return res
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也可以归纳为下面的算法 两个函数是一样的
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def xn_mod_p2(x, n, p):
res = 1
n_bin = bin (n)[ 2 :]
for i in range ( 0 , len (n_bin)):
res = res * * 2 % p
if n_bin[i] = = '1' :
res = res * x % p
return res
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有了模幂运算快速处理就可以实现费马检测
费马测试当给出否定结论时,是准确的,但是肯定结论有可能是错误的,对于大整数的效率很高,并且误判率随着整数的增大而降低
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def fermat_test_prime(n):
if n = = 1 :
return False
if n = = 2 :
return True
res = xn_mod_p( 2 , n - 1 , n)
return res = = 1
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MILLER-RABIN检测
Miller-Rabin检测是目前应用比较广泛的一种
二次探测定理:如果p是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或x=p-1
费马小定理:a^(p-1) ≡ 1(mod p)
这就是Miller-Rabin素性测试的方法。不断地提取指数n-1中的因子2,把n-1表示成d*2^r(其中d是一个奇数)。那么我们需要计算的东西就变成了a的d*2^r次方除以n的余数。于是,a^(d * 2^(r-1))要么等于1,要么等于n-1。如果a^(d * 2^(r-1))等于1,定理继续适用于a^(d * 2^(r-2)),这样不断开方开下去,直到对于某个i满足a^(d * 2^i) mod n = n-1或者最后指数中的2用完了得到的a^d mod n=1或n-1。这样,Fermat小定理加强为如下形式:
尽可能提取因子2,把n-1表示成d*2^r,如果n是一个素数,那么或者a^d mod n=1,或者存在某个i使得a^(d*2^i) mod n=n-1 ( 0<=i<r ) (注意i可以等于0,这就把a^d mod n=n-1的情况统一到后面去了)
定理:若n是素数,a是小于n的正整数,则n对以a为基的Miller测试,结果为真.
Miller测试进行k次,将合数当成素数处理的错误概率最多不会超过4^(-k)
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def miller_rabin_witness(a, p):
if p = = 1 :
return False
if p = = 2 :
return True
#p-1 = u*2^t 求解 u, t
n = p - 1
t = int (math.floor(math.log(n, 2 )))
u = 1
while t > 0 :
u = n / 2 * * t
if n % 2 * * t = = 0 and u % 2 = = 1 :
break
t = t - 1
b1 = b2 = xn_mod_p2(a, u, p)
for i in range ( 1 , t + 1 ):
b2 = b1 * * 2 % p
if b2 = = 1 and b1 ! = 1 and b1 ! = (p - 1 ):
return False
b1 = b2
if b1 ! = 1 :
return False
return True
def prime_test_miller_rabin(p, k):
while k > 0 :
a = randint( 1 , p - 1 )
if not miller_rabin_witness(a, p):
return False
k = k - 1
return True
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希望本文所述对大家的Python程序设计有所帮助。