题目描述
称一个1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的，当且仅当2<=i<=N时，Pi>Pi/2. 计算1，2，...N的排列中有多少是Magic的，答案可能很大，只能输出模P以后的值
输入输出格式
输入格式：
输入文件的第一行包含两个整数 n和p，含义如上所述。
输出格式：
输出文件中仅包含一个整数，表示计算1,2,⋯, ���的排列中， Magic排列的个数模 p的值。
输入输出样例
说明
100%的数据中，1 ≤N ≤ 10^6, P≤ 10^9，p是一个质数。
题解
数位dp？这怕不是个树位dp……
我们把原序列看成一棵二叉树
那么就是要我们求大小为$n$的小根堆有多少个（就是父节点比左右儿子都小）
那么考虑dp，设$dp[i]$表示有多少个大小为$i$的小根堆，$val[i]$表示$i$的子树的大小
因为父亲必须小于儿子，所以根节点只能是最小的点，那么剩下的$i-1$个点里有$val[l]$个可以放在左子树，剩下的都可以放在右子树，方案数为$C_{i-1}^{val[l]}$
然后因为选不同的点之后还能有不同的方案，所以还要乘上方案数
所以最后的状态转移方程是这样的$dp[i]=C_{i-1}^{val[l]}*dp[val[l]]*dp[val[r]]$
然后因为要组合数取模，得用上Lucas定理
1 //minamoto 2 #include<cstdio> 3 #define ll long long 4 const int N=1e6+5; 5 ll inv[N],fac[N],val[N],dp[N],n,mod; 6 #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b)) 7 ll qpow(ll x,ll y){ 8 ll res=1; 9 while(y){ 10 if(y&1) res=res*x%mod; 11 y>>=1,x=x*x%mod; 12 } 13 return res; 14 } 15 void init(){ 16 int k=min(n,mod-1); 17 fac[0]=fac[1]=1; 18 for(int i=2;i<=k;++i) fac[i]=fac[i-1]*i%mod; 19 20 inv[k]=qpow(fac[k],mod-2); 21 for(int i=k-1;i;--i) inv[i]=(i+1)*inv[i+1]%mod; 22 } 23 ll C(ll n,ll m){ 24 if(m>n) return 0; 25 return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod; 26 } 27 ll Lucas(ll n,ll m){ 28 if(m==0||m==n) return 1; 29 return Lucas(n/mod,m/mod)*C(n%mod,m%mod)%mod; 30 } 31 int main(){ 32 //freopen("testdata.in","r",stdin); 33 scanf("%lld%lld",&n,&mod);init(); 34 for(int i=n;i;--i){ 35 val[i]=1;if((i<<1)<=n) val[i]+=val[i<<1];if((i<<1|1)<=n) val[i]+=val[i<<1|1]; 36 if((i<<1|1)<=n) dp[i]=Lucas(val[i]-1,val[i<<1])*dp[i<<1]%mod*dp[i<<1|1]%mod; 37 else if((i<<1)<=n) dp[i]=dp[i<<1]; 38 else dp[i]=1; 39 } 40 printf("%lld\n",dp[1]); 41 return 0; 42 }