二分法是在一个排好序的序列（数组，链表等）中，不断收缩区间来进行目标值查找的一种算法，下面我们就来探究二分法使用的一些细节，以及常用的场景：
寻找一个数；寻找左侧边界；寻找右侧边界。
一、二分法的通用框架
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int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
int left=0, right=nums.size();
while(left < right)
{
int mid=(left+right)/2;
if(nums[mid] == target){
// 条件一：中间的值与目标值相同
}
else if(nums[mid] > target){
// 条件二：中间的值大于目标值
}
else if(nums[mid] < target){
// 条件三：中间的值小于目标值
}
}
return -1;
}
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首先，我们先来分析一下右边界 right 的初始值：
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当
right=nums.size()时，初始化的区间就变成了 \([0, right-1]\)，即 \([0,right)\)； -
当
right=nums.size()-1时，初始化的区间就变成了 \([0, right]\)。
在第一种情况下，当 nums[mid] > target 时，需要将区间向左收缩，即 right=mid。这个做法的逻辑是：既然 mid 位置处大于 target，而查找区间又是 “左闭右开”，因此当 right=mid 时，新的查找区间变成了 \([0, mid)\)，这样才不会漏掉值。同理，当 nums[mid] < target 时，需要将区间向右收缩，即 left = mid+1，因为在 "左闭右开" 的区间下，新的查找区间变成 \([mid+1, right)\) 才不会漏掉值。当目标值不在序列中时，需要将 while 的条件写成 while(left < right) 而不是写成 while(left<=right)，这样会引起数组越界。
第二种情况的分析类似，这里只给出结论：
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当
nums[mid] > target时，需要将区间向左收缩，即right=mid-1； -
当
nums[mid] < target时，需要将区间向右收缩，即left = mid+1； -
当目标值不在序列中时，需要将
while的条件写成while(left<=right)
二、二分法查找目标值
在序列中查找一个数，如果存在则返回数的索引，如果不存在则返回 -1 。为了方便分析，我们就只用第一种情况进行说明：
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int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
int left=0, right=nums.size();
while(left < right)
{
int mid=(left+right)/2;
if(nums[mid] == target){
return mid; // 查询到目标值，直接返回目标值的位置
}
else if(nums[mid] > target){
right = mid; // 中间的值大于目标值，向左收缩区间
}
else if(nums[mid] < target){
left = mid+1;// 中间的值小于目标值，向右收缩区间
}
}
return -1; // 当没有找到，直接返回-1
}
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三、二分法查找目标值的左右边界
上述代码只能从序列中查找一个目标值并返回位置，当一个序列中目标值不止一个时，我们需要找到目标值最左边的位置和最右边的位置，这时候二分法需要进行改写：
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// 查找目标值的左边界
int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
int left=0, right=nums.size();
while(left < right)
{
int mid=(left+right)/2;
if(nums[mid] == target){
right = mid; // 查询到目标值不进行返回，而是收缩区间继续查找
}
else if(nums[mid] > target){
right = mid; // 中间的值大于目标值，向左收缩区间
}
else if(nums[mid] < target){
left = mid+1;// 中间的值小于目标值，向右收缩区间
}
}
return left;
}
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根据上述代码，可以发现如果查找目标值的左边界，在满足 nums[mid] == target 时，需要缩小搜索区间的上界 right，在区间 \([left, mid]\) 中继续搜索，直到搜索完毕 left==right。此时 left=right=左边界。
查找右边界的做法与左边界类似：
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// 查找目标值的左边界
int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
int left=0, right=nums.size();
while(left < right)
{
int mid=(left+right)/2;
if(nums[mid] == target){
left = mid+1; // 查询到目标值不进行返回，而是收缩区间继续查找
}
else if(nums[mid] > target){
right = mid; // 中间的值大于目标值，向左收缩区间
}
else if(nums[mid] < target){
left = mid+1;// 中间的值小于目标值，向右收缩区间
}
}
return left-1;
}
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注意这里的判断条件改成了当 nums[mid] == target 时，left = mid+1。因为搜索的区间为 "左闭右开"，所以在寻找左边界时可令 right=mid ，在寻找右边界时必须另 left=mid+1，不然程序会一直停在循环里面而无法跳出循环。
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