最小生成树的性质
MST性质：设G = (V,E)是连通带权图，U是V的真子集。如果(u,v)∈E,且u∈U,v∈V-U,且在所有这样的边中，
(u,v)的权c[u][v]最小，那么一定存在G的一棵最小生成树，(u,v)为其中一条边。
构造最小生成树，要解决以下两个问题：
(1).尽可能选取权值小的边，但不能构成回路（也就是环）。
(2).选取n-1条恰当的边以连接网的n个顶点。
Prim算法的思想：
设G = (V,E)是连通带权图，V = {1,2,…,n}。先任选一点（一般选第一个点），首先置S = {1}，然后，只要S是V的真子集，就选取满足条件i ∈S,j ∈V-S,且c[i][j]最小的边，将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S = V时为止。在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。
Prim算法代码
以 hdu 1863为例 （点击打开链接）
#include<stdio.h>
#include<limits.h>
#include<string.h>
#define N 100
int n,m,map[N+][N+],v[N+],low[N+];
int prim()
{
int i,j,pos,min,s=;
memset(v,,sizeof(v)); //v[i]用来标记i是否已访问，先初始化为0，表示都未访问
v[]=; //先任选一点作为第一个点
pos=; //pos用来标记当前选的点的下标
for(i=;i<=n;i++)
low[i]=map[][i]; //用low数组存已选点到其他点的权值
for(i=;i<n;i++){
min=INT_MAX;
for(j=;j<=n;j++) //求权值最小的边
if(!v[j]&&low[j]<min){
min=low[j];
pos=j;
}
if(min==INT_MAX)
break;
s+=min;
v[pos]=;
for(j=;j<=n;j++) //更新low数组
if(!v[j]&&map[pos][j]<low[j])
low[j]=map[pos][j];
}
if(i!=n)
s=-;
return s;
}
int main()
{
int i,j,s,a,b,c;
while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF){ //m为道路数，n为村庄数
if(m==)
break;
for(i=;i<=n;i++)
for(j=;j<=n;j++)
map[i][j]=INT_MAX; //先将map数组初始化为很大的值（int 最大值）
for(i=;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
map[a][b]=map[b][a]=c; //map[a][b]存的从a到b的权值
}
s=prim();
if(s==-)
printf("?\n");
else
printf("%d\n",s);
}
return ;
}
Kruskal算法思想
给定无向连同带权图G = (V,E),V = {1,2,...,n}。
（1）首先将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支。将所有的边按权从小大排序。
（2）从第一条边开始，依边权递增的顺序检查每一条边。并按照下述方法连接两个不同的连通分支：当查看到第k条边(v,w)时，如果端点v和w分别是当前两个不同的连通分支T1和T2的端点是，就用边(v,w)将T1和T2连接成一个连通分支，然后继续查看第k+1条边；如果端点v和w在当前的同一个连通分支中，就直接再查看k+1条边。这个过程一个进行到只剩下一个连通分支时为止。此时，已构成G的一棵最小生成树。
Kruskal算法代码：
以 hdu 1863为例 （点击打开链接）
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[],n,m;
struct stu
{
int a,b,c;
}t[];
int cmp(struct stu x,struct stu y)
{
return x.c<y.c;
}
int find(int x) //路径压缩，找父节点
{
if(x!=f[x])
f[x]=find(f[x]);
return f[x];
}
int krus()
{
int i,k=,s=,x,y;
for(i=;i<=n;i++){
x=find(t[i].a);
y=find(t[i].b);
if(x!=y){ //最小生成树不能形成环，所以要判断它们的是否属于同一集合
s+=t[i].c;
k++;
if(k==m-) //<span style="font-family: KaiTi_GB2312;">最小生成树会形成m-1（顶点-1）条边，若已形成，则最小生成树已构成</span>
break;
f[x]=y; //将父节点更新
}
}
if(k!=m-)
s=-;
return s;
}
int main()
{
int i,s;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
if(n==)
break;
for(i=;i<=n;i++)
scanf("%d%d%d",&t[i].a,&t[i].b,&t[i].c);
for(i=;i<=m;i++) //f[i]存的结点i的父亲，先将其父亲都初始化为其本身
f[i]=i;
sort(t+,t++n,cmp); //按权值从小到大排序
s=krus();
if(s==-)
printf("?\n");
else
printf("%d\n",s);
}
return ;
}
注：若顶点数为n,边为e
prim算法适合稠密图，其时间复杂度为O(n^2)，其时间复杂度与边的数目无关，
而kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)跟边的数目有关，适合稀疏图。