多项式求ln,求exp,开方,快速幂 学习总结

时间：2022-01-10 03:09:17

按理说Po姐姐三月份来讲课的时候我就应该学了

但是当时觉得比较难加上自己比较懒，所以就QAQ了

现在不得不重新弄一遍了

首先说多项式求ln

设G(x)=lnF(x)

我们两边求导可以得到G'(x)=F‘(x)/F(x)

则G(x)就是F’(x)/F(x)的积分

我们知道多项式求导和积分是O(n)的,多项式求逆是O(nlogn)的

所以总时间复杂度O(nlogn)

多项式求ln一般解决的问题是这样的

设多项式f表示一些奇怪的东西，由一些奇怪的东西有序组成的方案为

f^1+f^2+f^3…… 化简之后得到多项式求逆的式子

而由这些奇怪的东西无序组成的方案为

f^1/1!+f^2/2！……

由泰勒展开我们知道化简后为e^f

则若我们知道e^f,求f就需要多项式求ln了

这样推导非常的优美

譬如说BZOJ 3456 城市规划

设答案为多项式f，设n个点的无向图个数为多项式g

不难发现无向图是由若干个无序联通块组成的

我们得到式子g=e^f

而多项式g是非常好构造的，f=ln(g)

多项式求ln即可

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cstdlib>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#define G 3

using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn=300010;

const int mod=1004535809;

int n,N,len,rev[maxn];

int jc[maxn],inv[maxn];

int g[maxn],f[maxn],w[maxn];

int pow_mod(int v,int p){

    int tmp=1;

    while(p){

        if(p&1)tmp=1LL*tmp*v%mod;

        v=1LL*v*v%mod;p>>=1;

    }return tmp;

}

void FFT(int *A,int n,int flag){

    for(int i=0;i<n;++i)if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]);

    for(int k=2;k<=n;k<<=1){

        int mk=(k>>1);

        int wn=pow_mod(G,flag==1?(mod-1)/k:(mod-1)-(mod-1)/k);

        w[0]=1;

        for(int i=1;i<mk;++i)w[i]=1LL*w[i-1]*wn%mod;

        for(int i=0;i<n;i+=k){

            for(int j=0;j<mk;++j){

                int a=i+j,b=i+j+mk;

                int x=A[a],y=1LL*A[b]*w[j]%mod;

                A[a]=(x+y)%mod;

                A[b]=x-y;if(A[b]<0)A[b]+=mod;

            }

        }

    }

    if(flag==-1){

        int c=pow_mod(n,mod-2);

        for(int i=0;i<n;++i)A[i]=1LL*A[i]*c%mod;

    }

}

void Get_inv(int n){

    if(n==1){

        f[0]=pow_mod(g[0],mod-2);

        return;

    }

    Get_inv(n>>1);

    int now=(n<<1);

    for(len=0;(1<<len)<now;++len);

    for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1));

    static int tmp[maxn];

    for(int i=0;i<n;++i)tmp[i]=g[i];

    FFT(tmp,now,1);FFT(f,now,1);

    for(int i=0;i<now;++i)f[i]=1LL*f[i]*(2LL-1LL*f[i]*tmp[i]%mod+mod)%mod;

    FFT(f,now,-1);

    memset(f+n,0,sizeof(int)*n);

}

void Get_Dao(){

    g[N]=0;

    for(int i=0;i<N;++i)g[i]=1LL*g[i+1]*(i+1)%mod;

}

void Get_Fen(){

    f[0]=0;

    for(int i=N-1;i>=0;--i)f[i]=1LL*f[i-1]*pow_mod(i,mod-2)%mod;

}

int main(){

    scanf("%d",&n);

    for(N=1;N<=n;N<<=1);

    jc[0]=1;

    for(int i=1;i<N;++i)jc[i]=1LL*jc[i-1]*i%mod;

    inv[N-1]=pow_mod(jc[N-1],mod-2);

    for(int i=N-2;i>=0;--i)inv[i]=1LL*inv[i+1]*(i+1)%mod;

    for(int i=0;i<N;++i){

        int tmp=(1LL*i*(i-1)/2)%(mod-1);

        g[i]=1LL*pow_mod(2,tmp)*inv[i]%mod;

    }

    Get_inv(N);Get_Dao();N<<=1;

    for(len=0;(1<<len)<N;++len);

    for(int i=0;i<N;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1));

    FFT(g,N,1);FFT(f,N,1);

    for(int i=0;i<N;++i)f[i]=1LL*f[i]*g[i]%mod;

    FFT(f,N,-1);Get_Fen();

    printf("%d\n",1LL*f[n]*jc[n]%mod);

    return 0;

}

cojs 2358

首先用多项式求逆可以搞出n个点的DAG的个数，这个不再多说

我们不难发现n个点的DAG是由若干个DAG的弱连通图无序组成的

多项式求ln即可

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<iostream>

#include<cstdlib>

#include<algorithm>

#define G 3

using namespace std;

const int maxn=300010;

const int mod=998244353;

int n,N,len,w[maxn];

int jc[maxn],inv[maxn],rev[maxn];

int f[maxn],Inv[maxn],ln[maxn];

int pow_mod(int v,int p){

	int tmp=1;

	while(p){

		if(p&1)tmp=1LL*tmp*v%mod;

		v=1LL*v*v%mod;p>>=1;

	}return tmp;

}

void FFT(int *A,int n,int flag){

	for(int i=0;i<n;++i)if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]);

	for(int k=2;k<=n;k<<=1){

		int mk=(k>>1);

		int wn=pow_mod(G,flag==1?(mod-1)/k:(mod-1)-(mod-1)/k);

		w[0]=1;

		for(int i=1;i<mk;++i)w[i]=1LL*w[i-1]*wn%mod;

		for(int i=0;i<n;i+=k){

			for(int j=0;j<mk;++j){

				int a=i+j,b=i+j+mk;

				int x=A[a],y=1LL*A[b]*w[j]%mod;

				A[a]=(x+y)%mod;

				A[b]=x-y;if(A[b]<0)A[b]+=mod;

			}

		}

	}

	if(flag==-1){

		int c=pow_mod(n,mod-2);

		for(int i=0;i<n;++i)A[i]=1LL*A[i]*c%mod;

	}return;

}

void Get_dao(int n){

	f[n]=0;

	for(int i=0;i<n;++i)f[i]=1LL*f[i+1]*(i+1)%mod;

}

void Get_Fen(int n){

	for(int i=n-1;i>=1;--i)ln[i]=1LL*ln[i-1]*pow_mod(i,mod-2)%mod;

	ln[0]=0;

}

void Get_inv(int n){

	if(n==1){

		Inv[0]=pow_mod(f[0],mod-2);

		return;

	}

	Get_inv(n>>1);

	int now=(n<<1);

	for(len=0;(1<<len)<now;++len);

	for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1));

	static int tmp[maxn];

	for(int i=0;i<n;++i)tmp[i]=f[i];

	for(int i=n;i<now;++i)tmp[i]=0;

	FFT(Inv,now,1);FFT(tmp,now,1);

	for(int i=0;i<now;++i)Inv[i]=1LL*Inv[i]*(2LL-1LL*Inv[i]*tmp[i]%mod+mod)%mod;

	FFT(Inv,now,-1);

	memset(Inv+n,0,sizeof(int)*n);

}

void Get_ln(int n){

	int now=(n<<1);

	for(int i=0;i<n;++i)Inv[i]=0;

	Get_inv(n);Get_dao(n);

	for(len=0;(1<<len)<now;++len);

	for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1));

	FFT(Inv,now,1);FFT(f,now,1);

	for(int i=0;i<now;++i)ln[i]=1LL*Inv[i]*f[i]%mod;

	FFT(ln,now,-1);

	memset(ln+n,0,sizeof(int)*n);

	Get_Fen(n);

}

int main(){

	freopen("dagIV.in","r",stdin);

	freopen("dagIV.out","w",stdout);

	scanf("%d",&n);

	for(N=1;N<=n;N<<=1);

	jc[0]=1;

	for(int i=1;i<N;++i)jc[i]=1LL*jc[i-1]*i%mod;

	inv[N-1]=pow_mod(jc[N-1],mod-2);

	for(int i=N-2;i>=0;--i)inv[i]=1LL*inv[i+1]*(i+1)%mod;

	for(int i=0;i<N;++i){

		int tmp=(1LL*i*(i-1)/2)%(mod-1);

		f[i]=1LL*pow_mod((mod+1)>>1,tmp)*inv[i]%mod;

		if(i&1)f[i]=mod-f[i];

	}Get_inv(N);

	for(int i=0;i<=n;++i){

		int tmp=(1LL*i*(i-1)/2)%(mod-1);

		f[i]=1LL*Inv[i]*pow_mod(2,tmp)%mod*jc[i]%mod;

		f[i]=1LL*f[i]*inv[i]%mod;

	}

	for(int i=n+1;i<N;++i)f[i]=0;

	Get_ln(N);

	printf("%d\n",1LL*ln[n]*jc[n]%mod);

	return 0;

}

多项式求exp

用处其实跟多项式求ln是相反的

对于式子g=e^f，假设我们知道f，求g就需要用到多项式求exp了

多项式求exp的方式是利用牛顿迭代法倍增

设F(x)=e^A(x)

我们知道若G(F0(x))=0(mod x^n)

我们有G(F(x))=0=G(F0(x))/0!+G‘(F0(x))/1!*(F(x)-F0(x))(mod x^2n)

转换一下式子我们可以得到F(x)的表达式

我们又知道G(F(x))=lnF(x)-A(x)

带入上面的式子整理之后我们得到F(x)=F0(x)*(1-lnF0(x)+A(x))

无脑倍增就可以了,每次倍增的时候求ln即可，常数巨大，但还是O(nlogn)的

本来应该出到cojs的题目QAQ但是因为自己的权限掉了QAQ

求前n项的Bell数

在之前的文章里提到了Bell数可以利用CDQ+FFT解决

但是我们也提到了Bell数的生成函数e^(e^x-1)

我们对e^x-1做泰勒展开，之后多项式求exp即可

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<iostream>

#include<cstdlib>

#include<algorithm>

#define G 3

using namespace std;

const int mod=998244353;

const int maxn=300010;

int n,N,len,T;

int jc[maxn],inv[maxn],rev[maxn],w[maxn];

int g[maxn],f[maxn],h[maxn],ni[maxn];

int Exp[maxn],ln[maxn],Inv[maxn];

int C[maxn];

struct ASK{

	int n;

}Q[maxn];

int pow_mod(int v,int p){

	int tmp=1;

	while(p){

		if(p&1)tmp=1LL*tmp*v%mod;

		v=1LL*v*v%mod;p>>=1;

	}return tmp;

}

void FFT(int *A,int n,int flag){

	for(int i=0;i<n;++i)if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]);

	for(int k=2;k<=n;k<<=1){

		int mk=(k>>1);

		int wn=pow_mod(G,flag==1?(mod-1)/k:(mod-1)-(mod-1)/k);

		w[0]=1;

		for(int i=1;i<mk;++i)w[i]=1LL*w[i-1]*wn%mod;

		for(int i=0;i<n;i+=k){

			for(int j=0;j<mk;++j){

				int a=i+j,b=i+j+mk;

				int x=A[a],y=1LL*A[b]*w[j]%mod;

				A[a]=(x+y)%mod;

				A[b]=x-y;if(A[b]<0)A[b]+=mod;

			}

		}

	}

	if(flag==-1){

		int c=pow_mod(n,mod-2);

		for(int i=0;i<n;++i)A[i]=1LL*A[i]*c%mod;

	}return;

}

void Get_dao(int n){

	f[n]=0;

	for(int i=0;i<n;++i)f[i]=1LL*f[i+1]*(i+1)%mod;

}

void Get_Fen(int n){

	for(int i=n-1;i>=1;--i)ln[i]=1LL*ln[i-1]*ni[i]%mod;

	ln[0]=0;

}

void Get_inv(int n){

	if(n==1){

		Inv[0]=pow_mod(f[0],mod-2);

		return;

	}

	Get_inv(n>>1);

	int now=(n<<1);

	for(len=0;(1<<len)<now;++len);

	for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1));

	static int tmp[maxn];

	for(int i=0;i<n;++i)tmp[i]=f[i];

	for(int i=n;i<now;++i)tmp[i]=0;

	FFT(tmp,now,1);FFT(Inv,now,1);

	for(int i=0;i<now;++i)Inv[i]=1LL*Inv[i]*(2LL-1LL*tmp[i]*Inv[i]%mod+mod)%mod;

	FFT(Inv,now,-1);

	memset(Inv+n,0,sizeof(int)*n);

}

void Get_ln(int n){

	int now=(n<<1);

	for(int i=0;i<n;++i)Inv[i]=0;

	Get_inv(n);Get_dao(n);

	for(len=0;(1<<len)<now;++len);

	for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1));

	FFT(Inv,now,1);FFT(f,now,1);

	for(int i=0;i<now;++i)ln[i]=1LL*f[i]*Inv[i]%mod;

	FFT(ln,now,-1);

	memset(ln+n,0,sizeof(int)*n);

	Get_Fen(n);

}

void Get_exp(int n){

	if(n==1){Exp[0]=1;return;}

	Get_exp(n>>1);

	int now=(n<<1);

	for(int i=0;i<n;++i)f[i]=Exp[i],h[i]=g[i];

	Get_ln(n);

	for(int i=0;i<now;++i)ln[i]=((i==0)-ln[i]+h[i]+mod)%mod;

	for(len=0;(1<<len)<now;++len);

	for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1));

	FFT(Exp,now,1);FFT(ln,now,1);

	for(int i=0;i<now;++i)Exp[i]=1LL*Exp[i]*ln[i]%mod;

	FFT(Exp,now,-1);

	memset(Exp+n,0,sizeof(int)*n);

}

int main(){

	freopen("QAQ_Bell.in","r",stdin);

	freopen("QAQ_Bell.ans","w",stdout);

	scanf("%d",&T);

	for(int i=1;i<=T;++i){

		scanf("%d",&Q[i].n);

		n=max(n,Q[i].n);

	}

	for(N=1;N<=n;N<<=1);

	jc[0]=1;ni[0]=ni[1]=1;

	for(int i=1;i<N;++i)jc[i]=1LL*jc[i-1]*i%mod;

	inv[N-1]=pow_mod(jc[N-1],mod-2);

	for(int i=N-2;i>=0;--i)inv[i]=1LL*inv[i+1]*(i+1)%mod;

	for(int i=2;i<N;++i)ni[i]=(mod-1LL*(mod/i)*ni[mod%i]%mod);

	for(int i=1;i<N;++i)g[i]=inv[i];

	Get_exp(N);

	for(int i=1;i<=T;++i){

		n=Q[i].n;

		printf("%d\n",1LL*Exp[n]*jc[n]%mod);

	}

	return 0;

}

多项式开根

同样是利用倍增

设G^2(x)=F(x)(mod x^n)

我们得到(G^2(x)-F(x))^2=0(mod x^2n)

又可以得到(G^2(x)+F(x))^2=4*G^2(x)*F(x)(mod x^2n)

即((G^2(x)+F(x))/2*G(x))^2=F(x)(mod x^2n)

显然括号里面的东西是我们要求的东西，求解即可

注意到多项式开根的前提是常数项可开根，但如果在模意义下并不要求常数项是完全平方数

只要常数项存在二次剩余就可以了，至于求解的话可以利用原根的性质求解

BZOJ 3625

我们设答案多项式为F(x)

我们得到生成函数F(x)=C(x)F^2(x)+1

得到C(x)F^2(x)-F(x)+1=0

F(x)=(1 +or- sqrt(1-4C(x))/2C(x))=2/(1 +or- sqrt(1-4C(x)))

由于多项式求逆要求常数项存在逆，所以可以确定是加号

之后做多项式开根之后多项式求逆即可

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#define G 3

using namespace std;

const int maxn=300010;

const int mod=998244353;

int n,m,x,N,len,C;

int f[maxn],rt[maxn],Inv[maxn],rev[maxn];

int w[maxn];

void read(int &num){

    num=0;char ch=getchar();

    while(ch<'!')ch=getchar();

    while(ch>='0'&&ch<='9')num=num*10+ch-'0',ch=getchar();

}

int pow_mod(int v,int p){

    int tmp=1;

    while(p){

        if(p&1)tmp=1LL*tmp*v%mod;

        v=1LL*v*v%mod;p>>=1;

    }return tmp;

}

void FFT(int *A,int n,int flag){

    for(int i=0;i<n;++i)if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]);

    for(int k=2;k<=n;k<<=1){

        int mk=(k>>1);

        int wn=pow_mod(G,flag==1?(mod-1)/k:(mod-1)-(mod-1)/k);

        w[0]=1;

        for(int i=1;i<mk;++i)w[i]=1LL*w[i-1]*wn%mod;

        for(int i=0;i<n;i+=k){

            for(int j=0;j<mk;++j){

                int a=i+j,b=i+j+mk;

                int x=A[a],y=1LL*A[b]*w[j]%mod;

                A[a]=(x+y)%mod;

                A[b]=x-y;if(A[b]<0)A[b]+=mod;

            }

        }

    }

    if(flag==-1){

        int c=pow_mod(n,mod-2);

        for(int i=0;i<n;++i)A[i]=1LL*A[i]*c%mod;

    }return;

}

void Get_inv(int n){

    if(n==1){

        Inv[0]=pow_mod(rt[0],mod-2);

        return;

    }

    Get_inv(n>>1);

    int now=(n<<1);

    for(len=0;(1<<len)<now;++len);

    for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1));

    static int tmp[maxn];

    for(int i=0;i<n;++i)tmp[i]=rt[i];

    for(int i=n;i<now;++i)tmp[i]=0;

    FFT(tmp,now,1);FFT(Inv,now,1);

    for(int i=0;i<now;++i)Inv[i]=1LL*Inv[i]*(2LL-1LL*tmp[i]*Inv[i]%mod+mod)%mod;

    FFT(Inv,now,-1);

    memset(Inv+n,0,sizeof(int)*n);

}

void Get_root(int n){

    if(n==1){rt[0]=1;return;}

    Get_root(n>>1);

    for(int i=0;i<n;++i)Inv[i]=0;

    int now=(n<<1);Get_inv(n);

    static int tmp[maxn];

    for(int i=0;i<n;++i)tmp[i]=f[i];

    for(len=0;(1<<len)<now;++len);

    for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1));

    FFT(Inv,now,1);FFT(tmp,now,1);

    for(int i=0;i<now;++i)tmp[i]=1LL*tmp[i]*Inv[i]%mod;

    FFT(tmp,now,-1);

    for(int i=0;i<n;++i)rt[i]=1LL*C*(rt[i]+tmp[i])%mod;

}

int main(){

    read(n);read(m);C=((mod+1)>>1);

    for(N=1;N<=m;N<<=1);

    for(int i=1;i<=n;++i){

        read(x);

        if(x<=m)f[x]++;

    }

    for(int i=0;i<N;++i)f[i]=((i==0)-4*f[i]+mod)%mod;

    Get_root(N);rt[0]++;

    for(int i=0;i<(N<<1);++i)Inv[i]=0;

    Get_inv(N);

    for(int i=1;i<=m;++i){

        printf("%d\n",(Inv[i]<<1)%mod);

    }return 0;

}

多项式快速幂

即求F^k(x)

我们可以直接做快速幂每次乘完消掉次数界既可以了

但是这样的做法不够高大上

我们知道F^k(x)=exp(ln(F^k(x))

而ln(F^k(x))=k*ln(F(x))

我们做多项式求ln，然后系数乘以k之后exp还原即可

时间复杂度O(nlogn)

多项式的学习估计就到此结束啦，以后可能会学一些用FFT优化DP，用FFT优化字符串匹配的题目

当然也会写总结啦

听说多项式还有什么多点插值，扩展欧几里得，拉格朗日反演之类的鬼东西

先暂时弃掉咯

最后附上多项式终极模板，也是zcg他们出的毒瘤题目

cojs 2189 帕秋莉的超级多项式

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<cstdlib>

#include<iostream>

#include<cmath>

#define G 3

using namespace std;

const int maxn=300010;

const int mod=998244353;

int n,k,N,C,len;

int rev[maxn],w[maxn];

int f[maxn],rt[maxn];

int Inv[maxn],ln[maxn],Exp[maxn];

int pow_mod(int v,int p){

	int tmp=1;

	while(p){

		if(p&1)tmp=1LL*tmp*v%mod;

		v=1LL*v*v%mod;p>>=1;

	}return tmp;

}

void FFT(int *A,int n,int flag){

	for(int i=0;i<n;++i)if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]);

	for(int k=2;k<=n;k<<=1){

		int mk=(k>>1);

		int wn=pow_mod(G,flag==1?(mod-1)/k:(mod-1)-(mod-1)/k);

		w[0]=1;

		for(int i=1;i<mk;++i)w[i]=1LL*w[i-1]*wn%mod;

		for(int i=0;i<n;i+=k){

			for(int j=0;j<mk;++j){

				int a=i+j,b=i+j+mk;

				int x=A[a],y=1LL*A[b]*w[j]%mod;

				A[a]=(x+y)%mod;

				A[b]=x-y;if(A[b]<0)A[b]+=mod;

			}

		}

	}

	if(flag==-1){

		int c=pow_mod(n,mod-2);

		for(int i=0;i<n;++i)A[i]=1LL*A[i]*c%mod;

	}return;

}

void Get_Fen(int *f,int n){

	for(int i=n-1;i>=1;--i)f[i]=1LL*f[i-1]*pow_mod(i,mod-2)%mod;

	f[0]=0;

}

void Get_dao(int *f,int n){

	f[n]=0;

	for(int i=0;i<n;++i)f[i]=1LL*f[i+1]*(i+1)%mod;

}

void Get_inv(int n,int *h){

	if(n==1){

		Inv[0]=pow_mod(h[0],mod-2);

		return;

	}

	Get_inv(n>>1,h);

	int now=(n<<1);

	static int tmp[maxn];

	for(int i=0;i<n;++i)tmp[i]=h[i];

	for(int i=n;i<now;++i)tmp[i]=0;

	for(len=0;(1<<len)<now;++len);

	for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1));

	FFT(tmp,now,1);FFT(Inv,now,1);

	for(int i=0;i<now;++i)Inv[i]=1LL*Inv[i]*(2LL-1LL*tmp[i]*Inv[i]%mod+mod)%mod;

	FFT(Inv,now,-1);

	memset(Inv+n,0,sizeof(int)*n);

}

void Get_root(int n){

	if(n==1){

		rt[0]=(int)(sqrt(f[0]));

		return;

	}

	Get_root(n>>1);

	int now=(n<<1);

	for(int i=0;i<now;++i)Inv[i]=0;

	Get_inv(n,rt);

	static int tmp[maxn];

	for(int i=0;i<n;++i)tmp[i]=f[i];

	for(int i=n;i<now;++i)tmp[i]=0;

	for(len=0;(1<<len)<now;++len);

	for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1));

	FFT(tmp,now,1);FFT(Inv,now,1);

	for(int i=0;i<now;++i)tmp[i]=1LL*tmp[i]*Inv[i]%mod;

	FFT(tmp,now,-1);

	for(int i=0;i<n;++i)rt[i]=1LL*C*(rt[i]+tmp[i])%mod;

}

void Get_ln(int n,int *h){

	int now=(n<<1);

	for(int i=0;i<now;++i)Inv[i]=0;

	Get_inv(n,h);Get_dao(h,n);

	for(len=0;(1<<len)<now;++len);

	for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1));

	FFT(h,now,1);FFT(Inv,now,1);

	for(int i=0;i<now;++i)ln[i]=1LL*h[i]*Inv[i]%mod;

	FFT(ln,now,-1);

	memset(ln+n,0,sizeof(int)*n);

	Get_Fen(ln,n);

}

void Get_Exp(int n){

	if(n==1){Exp[0]=1;return;}

	Get_Exp(n>>1);

	int now=(n<<1);

	static int g[maxn];

	for(int i=0;i<n;++i)g[i]=Exp[i];

	for(int i=n;i<now;++i)g[i]=0;

	Get_ln(n,g);

	for(int i=0;i<n;++i)ln[i]=((i==0)-ln[i]+f[i]+mod)%mod;

	for(len=0;(1<<len)<now;++len);

	for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1));

	FFT(ln,now,1);FFT(Exp,now,1);

	for(int i=0;i<now;++i)Exp[i]=1LL*Exp[i]*ln[i]%mod;

	FFT(Exp,now,-1);

	memset(Exp+n,0,sizeof(int)*n);

}

int main(){

	freopen("polynomial.in","r",stdin);

	freopen("polynomial.out","w",stdout);

	scanf("%d",&n);scanf("%d",&k);C=((mod+1)>>1);

	for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&f[i]);

	for(N=1;N<=n;N<<=1);

	Get_root(N);

	for(int i=0;i<(N<<1);++i)Inv[i]=0;

	Get_inv(N,rt);

	for(int i=0;i<N;++i)f[i]=Inv[i];

	Get_Fen(f,n);

	for(int i=n;i<N;++i)f[i]=0;

	Get_Exp(N);

	for(int i=0;i<N;++i)f[i]=Exp[i];

	for(int i=0;i<(N<<1);++i)Inv[i]=0;

	Get_inv(N,f);

	for(int i=0;i<N;++i)f[i]=Inv[i];

	f[0]++;

	Get_ln(N,f);

	for(int i=0;i<N;++i)f[i]=ln[i];

	f[0]++;

	for(int i=N+1;i<(N<<1);++i)f[i]=0;

	Get_ln(N,f);

	for(int i=0;i<N;++i)f[i]=1LL*k*ln[i]%mod;

	for(int i=0;i<(N<<1);++i)Exp[i]=0;

	Get_Exp(N);

	for(int i=1;i<n;++i)printf("%d ",1LL*Exp[i]*i%mod);

	printf("0\n");

	return 0;

}

感觉生成函数什么的还是很好玩的，非常想找时间学一学

不过貌似NOI用处不大(雾

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