给定一个秩为 r r r的矩阵 A ∈ R m × n \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n} A∈Rm×n（或 C m × n \mathbb{C}^{m \times n} Cm×n），其 SVD 分解为：
A = U Σ V T \mathbf{A} = \mathbf{U} \mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^T A=UΣVT
其中：
- U ∈ R m × m \mathbf{U} \in \mathbb{R}^{m \times m} U∈Rm×m（或 C m × m \mathbb{C}^{m \times m} Cm×m）是正交矩阵（酉矩阵），其列向量称为左奇异向量。
- V ∈ R n × n \mathbf{V} \in \mathbb{R}^{n \times n} V∈Rn×n（或 C n × n \mathbb{C}^{n \times n} Cn×n）是正交矩阵（酉矩阵），其列向量称为右奇异向量。
- Σ ∈ R m × n \mathbf{\Sigma} \in \mathbb{R}^{m \times n} Σ∈Rm×n（或 C m × n \mathbb{C}^{m \times n} Cm×n）是对角矩阵，其非对角线元素为 0，对角线元素 σ 1 ≥ σ 2 ≥ ⋯ ≥ σ r > 0 \sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \dots \geq \sigma_r > 0 σ1≥σ2≥⋯≥σr>0称为奇异值，其余元素为 0。