齐次线性方程组的概念
齐次线性方程组是指所有常数项都为零的线性方程组，其一般形式为：
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
0
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0
a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
0
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0
a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0
⋮
\vdots
⋮
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
⋯
+
a
m
n
x
n
=
0
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0
am1x1+am2x2+⋯+amnxn=0
其中， a i j a_{ij} aij 是系数， x i x_i xi 是未知数，方程组中的常数项都是0。
求解方法
- 高斯消元法：通过行变换将系数矩阵转换为行最简形式，从而找到方程组的解。高斯消元法是一种求解线性方程组的算法，它通过对方程组的增广矩阵进行行变换，将矩阵转换为行阶梯形或行最简形，从而找到方程组的解。对于齐次线性方程组，由于常数项都是0，所以增广矩阵就是系数矩阵。
以下是使用高斯消元法求解齐次线性方程组的步骤：
写出系数矩阵：将方程组的系数写成矩阵形式 A A A。
进行行变换：通过以下三种基本行变换将矩阵转换为行阶梯形或行最简形：
- 交换两行。
- 将某一行乘以一个非零常数。
- 将某一行加上另一行的倍数。
找到解：当矩阵转换为行最简形时，可以很容易地读出方程组的解。
考虑以下齐次线性方程组：
x
1
+
2
x
2
+
3
x
3
=
0
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0
x1+2x2+3x3=0
4
x
1
+
5
x
2
+
6
x
3
=
0
4x_1 + 5x_2 + 6x_3 = 0
4x1+5x2+6x3=0
7
x
1
+
8
x
2
+
9
x
3
=
0
7x_1 + 8x_2 + 9x_3 = 0
7x1+8x2+9x3=0
系数矩阵 A A A 为：
A = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} A= 147258369
我们可以通过高斯消元法将这个矩阵转换为行最简形。以下是具体的行变换步骤：
从第二行减去第一行的4倍：
R
2
←
R
2
−
4
R
1
R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1
R2←R2−4R1
(
1
2
3
0
−
3
−
6
7
8
9
)
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
1072−383−69
从第三行减去第一行的7倍：
R
3
←
R
3
−
7
R
1
R_3 \leftarrow R_3 - 7R_1
R3←R3−7R1
(
1
2
3
0
−
3
−
6
0
−
6
−
12
)
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}
1002−3−63−6−12
将第二行除以-3：
R
2
←
R
2
−
3
R_2 \leftarrow \frac{R_2}{-3}
R2←−3R2
(
1
2
3
0
1
2
0
−
6
−
12
)
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}
1002