文章目录
- 一、单位脉冲序列 δ(n) 傅里叶变换
- 二、{1} 序列傅里叶变换
- 三、e^jωn 傅里叶变换
- 四、cosωn 傅里叶变换
- 五、sinωn 傅里叶变换
- 六、a^nu(n) 傅里叶变换
- 七、矩形窗函数 R_N(n) 傅里叶变换
一、单位脉冲序列 δ(n) 傅里叶变换
S F T [ δ ( n ) ] = ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( n ) e − j ω n = 1 SFT[ \delta (n) ]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(n) e^{-j \omega n} = 1 SFT[δ(n)]=n=−∞∑+∞δ(n)e−jωn=1
二、{1} 序列傅里叶变换
S F T [ 1 ] = X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ e − j ω n = 2 π δ ~ ( ω ) SFT[1] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-j \omega n} = 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega ) SFT[1]=X(ejω)=n=−∞∑+∞e−jωn=2πδ (ω)
δ ~ ( ω ) \widetilde{\delta} ( \omega ) δ (ω) 样式 , 说明该 单位脉冲函数 是以 2 π 2 \pi 2π 为周期的 , δ ~ ( ω ) \widetilde{\delta} ( \omega ) δ (ω) 可以写成如下式子 :
δ ~ ( ω ) = ∑ m = − ∞ ∞ δ ( ω − 2 π m ) \widetilde{\delta} ( \omega ) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta( \omega - 2\pi m ) δ (ω)=m=−∞∑∞δ(ω−2πm)
m m m 取值 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty , +\infty) (−∞,+∞) ;
三、e^jωn 傅里叶变换
S F T [ e j ω 0 n ] = ∑ n = − ∞ + ∞ e − j ( ω − ω 0 ) = 2 π δ ~ ( ω − ω 0 ) SFT[e^{j \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -j ( \omega - \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) SFT[ejω0n]=n=−∞∑+∞e−j(ω−ω0)=2πδ (ω−ω0)
四、cosωn 傅里叶变换
S F T [ cos ω 0 n ] = π ( δ ~ ( ω − ω 0 ) + δ ~ ( ω + ω 0 ) ) SFT[\cos \omega_0 n] = \pi (\widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) + \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) ) SFT[cosω0n]=π(δ (ω−ω0)+δ (ω+ω0))
五、sinωn 傅里叶变换
S F T [ sin ω 0 n ] = π [ δ ~ ( ω − ω 0 ) − δ ~ ( ω + ω 0 ) ] i SFT[\sin \omega_0 n] = \cfrac{ \pi [\widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) - \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 )] }{i} SFT[sinω0n]=iπ[δ (ω−ω0)−δ (ω+ω0)]
六、a^nu(n) 傅里叶变换
S F T [ a n u ( n ) ] = X ( e j ω ) = 1 1 − a e − j ω SFT[a^nu(n)] = X(e^{j\omega}) = \cfrac{1}{1-ae^{-j \omega}} SFT[anu(n)]=X(ejω)=1−ae−jω1
七、矩形窗函数 R_N(n) 傅里叶变换
S F T [ R N ( n ) ] = X ( e j ω ) = e − j ω N − 1 2 sin ( ω N 2 ) sin ( ω 2 ) SFT[R_N(n)] = X(e^{j\omega}) = e^{-j\omega \cfrac{N-1}{2}} \cfrac{ \sin( \cfrac{\omega N}{2} ) }{ \sin( \cfrac{\omega }{2} )} SFT[RN(n)]=X(ejω)=e−jω2N−1sin(2ω)sin(2ωN)
S F T [ R N ( n ) ] = N ω = 0 SFT[R_N(n)] = N \ \ \ \ \omega = 0 SFT[RN(n)]=N ω=0
S F T [ R N ( n ) ] = 0 ω = 2 π k N , k = ± 1 , ± 2 , ⋯ SFT[R_N(n)] = 0 \ \ \ \ \omega = \cfrac{2\pi k}{N} , k = \pm1 , \pm2 , \cdots SFT[RN(n)]=0 ω=N2πk,k=±1,±2,⋯