卡方分布(Chi-square Distribution)
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什么是卡方分布
卡方分布 (χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k 个独立的标准正态分布变量的平方和服从*度为k 的卡方分布。卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。
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卡方分布的数学定义
若k 个随机变量Z1、……、Zk 相互独立，且数学期望为0、方差为 1(即服从标准正态分布)，则随机变量X
被称为服从*度为 k 的卡方分布，记作
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卡方分布的特征
卡方分布的概率密度函数为：
其中x≥0, 当x≤0时fk(x) = 0。这里Γ代表Gamma 函数。
卡方分布的累积分布函数为：
其中γ(k,z)为不完全Gamma函数
在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如 Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。
卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。
*度为 k 的卡方变量的平均值是 k，方差是 2k。 卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：
其中ψ(x) 是 Digamma function。
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卡方变数与 Gamma变数的关系
当Gamma变数频率(λ)为1/2 时，α 的2倍为卡方变数之*度(Degree of freedom)
即:
卡方变数之期望值=*度卡方变数之方差=两倍*度
卡方分布
参数k > 0, *度
值域,
概率密度函数,
累积分布函数(cdf),
期望值k,
大约k − 2 / 3,
k-2, if
,
方差2,k,
峰态12/k,
熵值
动差生成函数(mgf)，2t<1,
特征函数,
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