程序员的数学之线性代数
综述
线性代数的学习，比起计算方法，更重要的是掌握它的本质含义，这一点是非常重要的。矩阵不仅仅是数字排列而成的表而已，如果我们尝试从空间的角度去理解矩阵，我们会发现，它的“意蕴”是非常丰富有趣的。
其实，本质上来说，矩阵就是映射，在空间上的一种映射。
举个例子来阐述这个观点：假设有一个m * n的矩阵A， 在n维空间中的点x（n * 1 的列向量），则经过矩阵A的映射，就像n维空间中的点x映射到了m维空间中去了（Ax, m维的列向量）。
接下来，我将从空间的角度，去阐述一些基本概念：对角矩阵、行列式、特征值、特征向量、对角化、秩与可逆化。
首先，不得不说一下单位矩阵，也就是标准空间。（本文只列举二维空间的变换， 也就是只用二阶矩阵来阐述一些概念， 这些概念同样适用于n维的向量空间）
单位矩阵E，沿着矩阵的对角线的数为1， 其它的数全为0。（例如：
{
1
0
0
1
}
\left\{1001
在这里，我将直接阐述一些概念的“空间意义”。
一、 对角矩阵：
设矩阵A =
{
1.5
0
0
0.5
}
\left\{1.5000.5
该空间将发生如下变化：水平方向上将会伸缩为原来的1.5倍，垂直方向上将伸缩为原来的0.5倍。则面积扩大为原来（1 * 1）的1.5 * 0.5倍，即行列式det***A*** = 0.75。
如果矩阵变成了A =
{
0
0
0
0.5
}
\left\{0000.5
水平方向上变为原来的0倍？垂直方向上还是变为原来的0.5倍？对， 没错，通过这样的变换之后，水平方向被压缩后与垂直方向重合，也就是说，空间的维度由原来的2维降到了1维空间。
那，如果矩阵变成了A =
{
1.5
0
0
−
0.5
}
\left\{1.500−0.5
这个时候，垂直方向变为原来的-0.5倍，即上下颠倒后缩短为原来的0.5，而detA<0。
通过这样的一个简单例子，会给我们带来一个怎么样的思考呢？
首先，对比对角矩阵与单位矩阵，没错，单位矩阵，也是对角矩阵。然后呢？有没有发现，这种伸缩率是相比于1的？也就是单位矩阵，单位空间。再然后呢？会发现，这种变换，它们仅仅只是在每一个维度上进行的，并没有影响另外一个维度。其实从这里我们便可以得到启发：即使看似是n维的问题，实际上也只是n个一维问题而已。我们只需要将这n个一维问题“合成”一下即可。
二、特征值、特征向量、对角化：
从几何意义上讲，特征向量乘上矩阵A之后，矩阵A所表示的向量空间除了长度有伸缩变化之外，方向不发生改变。这里的长度变化倍率，便是特征值。
假设一个矩阵A=
{
1
−
0.3
−
0.7
0.6
}
\left\{1−0.3−0.70.6
对角化：什么是对角化呢？同样以该矩阵A为例来解释。对于一个标准向量空间，通过矩阵A的作用后，变成了另外一个向量空间，这一向量空间，相对于标准向量空间是倾斜的，。但是，如果我们尝试把变换之后的向量空间作为标准向量空间的话，我们便可以把矩阵A对角化。那么，在这样一个新的“标准向量空间”下，原来的标准向量空间便是倾斜的。所以，对角化的过程，就是将某一向量空间“标准化”的过程。（我觉得是可以这样理解的。）
三、 秩与可逆性：
秩，就是像的维度。其实，秩这个概念也可以结合着特征向量的线性相关性，线性无关性来理解。而线性相关性和线性无关性又和向量空间的维度是有关系的。这里暂时先不具体展开。
压缩扁平化，如果经过某一矩阵的映射之后，出现了降维的情况，也就是像的维数比原来降低，那么这时候的矩阵被称为奇异矩阵。也就是说，我们不能再通过某种变换，将该被压缩的向量空间复原。相反的，如果没有发生扁平化，那么我们便可以将该向量空间再次通过某种映射恢复回来，则称该矩阵为非奇异矩阵（可逆矩阵）。