定点数的加减运算及实现

目录

• 一、补码加减运算
• • 1.1 补码加减运算方法
  • 1.2 补码加减运算的溢出判断
  • 1.3 常用的判溢方法
• 二、机器数的移位运算
• • 2.1 三种移位运算
  • 2.2 补码的算术移位
• 三、移码加减运算
• • 3.1 移码和移码计算
  • 3.2 移码和补码混合计算
  • 3.3 移码运算结果判溢

一、补码加减运算

求补运算：将原码包括符号位在内每一位取反，末位加1。

1.1 补码加减运算方法

1. 方法：
   $$\begin{array}{rl}[X+Y{]}_{补}& =[X{]}_{补}+[Y{]}_{补}\\ [X-Y{]}_{补}& =[X{]}_{补}+[-Y{]}_{补}\end{array}$$

2. 使用补码进行加减运算，符号位和数值位一样参加运算；

3. 补码的减法可以用加法来实现，任意两数之差的补码等于被减数的补码与减数相反数的补码之和。

1.2 补码加减运算的溢出判断

1. 溢出：当运算结果超出机器数的表示范围时，称为溢出。计算机必须具备检测运算结果是否发生溢出的能力，否则会得到错误的结果。

2. 对于加减运算，可能发生溢出的情况：同号（两数）相加，或者异号（两数）相减。

3. 确定发生溢出的情况：
   正数相加，且结果符号位为1；
   负数相加，且结果符号位为0；
   正数－负数，且结果符号位为1；
   负数－正数，且结果符号位为0；

1.3 常用的判溢方法

1. 单符号位判溢：当最高有效位产生的进位和符号位产生的进位不同时，加减运算发生了溢出。
2. 双符号位判溢：$X$和$Y$采用双符号位补码参加运算，正数的双符号位为$00$，负数的双符号位为$11$；当运算结果的两位符号$S_{f1}$、$S_{f2}$不同时（$01$或$10$），发生溢出。

二、机器数的移位运算

2.1 三种移位运算

移位	解释
逻辑移位	将移位的数据视为无符号数据，各数据位在位置上发生了变化，导致无符号数据的数值（无正负）放大或缩小。
算术移位	将移位的数据视为带符号数据（机器数）。算术移位的结果，在数值的绝对值上进行放大或缩小，同时，符号位必须要保持不变。
循环移位	所有的数据位在自身范围内进行左移或者右移，左移时最高位移入最低位，右移时最低位移入最高位。

2.2 补码的算术移位

1. 算术左移：符号位不变，高位移出，低位补0。
   （1）为保证补码算术左移时不发生溢出，移位的数据最高有效位必须与符号位相同。
   （2）在不发生溢出的前提下，用硬件实现补码的算术左移时，直接将数据最高有效位移入符号位，不会改变机器数的符号。
2. 算术右移：符号位不变，低位移出，高位正数补0，负数补1，即高位补符号位。

三、移码加减运算

3.1 移码和移码计算

$$\begin{array}{rl}[X{]}_{移}& +[Y{]}_{移}=2^n+X+2^n+Y=2^n+[X+Y{]}_{移}\\ [X{]}_{移}& +[-Y{]}_{移}=2^n+[X-Y{]}_{移}\end{array}$$

3.2 移码和补码混合计算

$$\begin{array}{rl}[X{]}_{移}+[Y{]}_{补}& =2^n+X+2^{n+1}+Y\\ & =2^{n+1}+(X+Y+2^n)\\ & =2^{n+1}+[X+Y{]}_{移}\end{array}$$

3.3 移码运算结果判溢

1. 判断条件：当结果的最高符号位$S_{f1}=1$时溢出，$S_{f1}=0$时结果正确。
   （1）$S_{f1}{S}_{f2}=10$时，结果正溢出；
   （2）$S_{f1}{S}_{f2}=11$时，结果负溢出。
2. 由于移码运算用于浮点数的阶码，当运算结果正溢出时，浮点数上溢；当运算结果负溢出时，浮点数下溢，当作机器零处理。