第一章 行列式 第四五节 对换/行列式的性质

§1.4 对换
§1.5 行列式的性质

1.4 对换

  在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。

定理1：

  一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
  证明思路：先证明相邻对换的情形，再证明一般对换的情形。

推论：

  奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。

定理2：

  n阶行列式也可定义为
$$D=\sum (-1{)}^t{a}_{p_{1}1}{a}_{p_{2}2}\cdots a_{p_{n}n}$$
其中t为行标排列$p_1{p}_2\cdots p_n$的逆序数。

1.5 行列式的性质

  记
$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ & \cdots & \cdots & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|,D^T=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ & \cdots & \cdots & \\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|,$$
行列式$D^T$称为行列式$D$的转置行列式。

性质1：

  行列式和它的转置行列式相等.

性质2：

  互换行列式的两行(列)，行列式变号.

推论：

  如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式等于零.

性质3：

  行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数$k$，等于用数$k$乘以此行列式.

推论：

  行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.

性质4：

  行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零.

性质5：

  若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，例如第$i$列的元素都是两数之和：
$$D=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & (a_{1i}+a_{1i}^{\prime })& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & (a_{2i}+a_{2i}^{\prime })& \cdots & a_{2n}\\ & & \cdots & \cdots & & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & (a_{ni}+a_{ni}^{\prime })& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$
则$D$等于下列两个行列式之和

$$D=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1i}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2i}& \cdots & a_{2n}\\ & & \cdots & \cdots & & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{ni}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1i}^{\prime }& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2i}^{\prime }& \cdots & a_{2n}\\ & & \cdots & \cdots & & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{ni}^{\prime }& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|.$$

性质6：

  把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变.

《线性代数》同济大学第五版笔记