实对称矩阵的特征值求法_特征值的最大值与最小值

时间：2025-03-11 13:13:42

本文研究实对称矩阵特征值的最大值与最小值。

定理

设

是
阶实对称矩阵，记
分别是
中所有特征值中的最大值与最小值，则

证明：这里只证关于最大值的那部分。最小值的证明是完全类似的。

因为

是实对称矩阵，所以
有由
中标准正交基
组成的特征向量。这句话的意思是，
，其中
是
的第
个特征值，并且
。因此，对于
中任意向量
，都有

推论

设

是
阶实对称矩阵，记
分别是
中所有特征值中的最大值与最小值，则
，

证明：这里还是只证关于最大值的命题。事实上，上述定理已得到

。另一方面，特别取
属于
的特征向量
，就有
，从而两者是相等的。

例1

设

为
阶实对称矩阵，求二次型函数
在
上的单位球面
上的最大值与最小值。

解：设

，由题意，
，故根据本文定理，
，当
分别为
属于
的特征向量时取到等号，所以
的最大值与最小值就是

例2

设

，求证：
所有特征值都大于
，小于等于

证明：（该解法来自@希尔伯特23）

设

，
，则

由

知
是正定矩阵，故所有特征值都大于

设

的最大特征值是
，则由本文定理知：对于
中任意的
，都有
，即
；同理，由
的最大特征值是
知：对于任意
，

由三角不等式，对于任意

，

特别取

为
属于
的特征向量，则有
，代入上述不等式就得到
，解得

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