销售计划问题
- 提出问题
某商店拟制定某种商品 7-12月的进货，售货计划，已知商品仓库的最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底库存不少于300件为宜，以后每个月初进货一次，假设各月份该商品买进，售出单价如下表，若每月的库存费为0.5元，问各月进货，售货各为多少件时，才能使收益最多，试建立数学模型并求解。
表1
月份 7 8 9 10 11 12
买进（元/件） 28 26 25 27 24 23.5
售出（元/件） 29 27 26 28 25 25 - 分析问题
此问题提出主要解决实际问题中的线性规划中的销售计划问题，在实际生产生活中经常会涉及的一个问题。为使得利润最大化，商人不得不通过合理的买进售出的规划，同时在考虑影响不可消除的成本下，通过合理的规划销售方案使得商品的销售计划达到利润的最大化。解决此类问题主要是通过分析问题，提炼出线性规划模型，然后利用MATLAB工具箱中的linprog函数解决。
MATLAB中线性规划标准型：
Min fTx
. Ax<=0
Aeq·x=beq
Lb<=x<=ub
linprog函数：
linprog函数主要用来求解现行规划问题，主要使用方法如下：
注意：
目标函数f要写成列矩阵的形式
约束要写成<= 的形式
函数是为求最小值设置的
调用格式：
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq); 求解问题min fx，约束条件为Ax<=b。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub); 求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq。若没有不等式存在，则令A=[ ],b=[ ]。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0); 设置初值为x0.该选项只使用于中型问题，默认时，算法将忽略初值。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options); 用options指定的优化参数进行最小化。
[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
[x,fval,exitflag,output，lambda]= linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
返回解x处的目标函数值fval。
返回exitflag值，描述函数计算的退出条件。
返回包含优化信息的输出变量output。
lambda参数是解x处的拉格朗日乘子。
其中：
x返回的是决策向量的取值；
fval返回的是目标函数的最优值;
f为价值向量（目标函数）;
A和b对应的是线性不等式约束;
Aeq和beq对应的是线性等式约束;
lb和ub分别对应决策的下界向量和上界向量;
线性规划：
现实问题求解最优化问题，就是在一定条件下达到利益最大化的目的。此问题集使得月利润最大，其中需考虑进货，仓储成本以及售出量所决定的利益，以此找到一个最优解使得例如能最大化。由题目问题可得，该问题属于线性规划问题，目标函数可是该商店的纯利润表达式，约束条件是现实问题中，对于利润最大化的限制，例如仓储容量，买进售出量，仓储成本。
还需考虑到问题是：
该商品在6-12月每个月中买进售出的价格不随时间变化。
每月月初计算库存费用为买进的商品量加上库存量。
不考虑除了仓储成本以及买进该商品的成本外其他影响最终利润的费用支出，诸如人力成本等。
3. 建立模型
根据线性规划的原理和方法，结合题目具体要求，构建适合的数学模型。
(1) 确定目标函数
设7-12月每个月的该商品的买进量和售出量如下表二所示
设7-12月实际买进售出
表2
月份 7 8 9 10 11 12
买进 X11 X12 X13 X14 X15 X16
售出 X21 X22 X23 X24 X25 X26
由题目可得，该商品6月底已存货量为300件，所以得出7-12月月初的库存量如下所示：
表3
月份 库存
7 300+X11
8 300+X11-X21+X12
9 300+X11-X21+X12-X22+X13
10 300+X11-X21+X12-X22+X13-X23+X14
11 300+X11-X21+X12-X22+X13-X23+X14-X24+X15
12 300+X11-X21+X12-X22+X13-X23+X14-X24+X15-X25+X16
12月底 300+X11-X21+X12-X22+X13-X23+X14-X24+X15-X25+X16-X26
为使得该商品的利润达到做大化，利润可简化为：
利润=销售利润-仓储成本-买进成本
目标函数：
Max F=29X21-28X11+27X22-26X12+26X23-25X13+28X24-27X14+25X25-
24X15+25X26-23.5X16-0.5(300+X11+300+X11-X21+X12+300+X11-X21+X12-X22+X13+300+X11-X21+X12-X22+X13-X23+X14+300+X11-X21+X12-X22+X13-X23+X14-X24+X15+300+X11-X21+X12-X22+X13-X23+X14-X24+X15)
化简Max F’=31.5X21-31X11+29X22-28.5X12+27.5X23-27X13+
29X24-28.5X14+25.5X25-25X15+25X26-24X16-900
(2) 确定约束条件
约束条件
.：
- 商品仓库的最大容量为1500件
0<=300+X11<=1500
0<=300+X11-X21+X12<=1500
0<=300+X11-X21+X12-X22+X13<=1500
0<=300+X11-X21+X12-X22+X13-X23+X14<=1500
0<=300+X11-X21+X12-X22+X13-X23+X14-X24+X15<=1500
0<=300+X11-X21+X12-X22+X13-X23+X14-X24+X15-X25+X16<=1500 - 年底库存不少于300件
300+X11-X21+X12-X22+X13-X23+X14-X24+X15-X25+X16-X26>=300 - 买进和售出该商品不为负
X11 X21 …… X16 X26>=0
(3) 建立线性规划模型
Min C=31X11-31.5X21+28.5X12-29X22+27X13-27.5X23+
28.5X14-29X24+25X15-25.5X25+24X16-25X26+900
构建解决模型：
Min C’=31X11-31.5X21+28.5X12-29X22+27X13-27.5X23+
28.5X14-29X24+25X15-25.5X25+24X16-25X26
.
X11<=1200
-X11+X21<=300
X11-X21+X12<=1200
-X11+X21-X12+X22<=300
X11-X21+X12-X22+X13<=1200
-X11+X21-X12+X22-X13+X23<=300
X11-X21+X12-X22+X13-X23+X14<=1200
-X11+X21-X12+X22-X13+X23-X14+X24<=300
X11-X21+X12-X22+X13-X23+X14-X24+X15<=1200
-X11+X21-X12+X22-X13+X23-X14+X24-X15+X25<=300
X11-X21+X12-X22+X13-X23+X14-X24+X15-X25+X16<=1200
-X11+X21-X12+X22-X13+X23-X14+X24-X15+X25-X16+X26<=0
-X11 -X21 …… -X16 -x26<=0
4. 问题求解
采用调用工具箱法和修正单纯性函数法求解，见附录
求解可得：xm为：
1200.00000000000
1500.00000000000
1499.99999999999
1500.00000000000
1500.00000000000
3.32426374296570e-12
5.04039389707337e-12
1500.00000000000
1500.00000000000
1499.99999999999
1500.00000000000
1200.00000000000
Fm=-8.549999999999593e+03
C’=fm=-8550
C=C’+900=-8550+900=-7650
利润：Max F=-C=7550
所以7-12月该商品买进售出计划如下表
表4
月份 7 8 9 10 11 12
买进（件） 1200 1500 1500 0 1500 1500
售出（件） 1500 1500 0 1500 1500 1200
所以该商店出售该商品最大的利润为7550元
f=[31,-31.5,28.5,-29,27,-27.5,28.5,-29,25,-25.5,24,-25];
A=[ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
-1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
-1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;
1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0;
-1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0;
1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0;
-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0;
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 0;
-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0;
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0;
-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
];
b=[1200;300;1200;300;1200;300;1200;300;1200;300;1200;0];
lb=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
[xm,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb);
function [x,minf] = ModifSimpleMthd(A,c,b,baseVector)
% A:约束矩阵
% c:目标函数系数矩阵
% b:约束右端向量
% baseVector:初始基向量
% x:目标函数取最小值时的自变量的值
% minf:目标函数最小值
sz = size(A);
nVia = sz(2);
n = sz(1);
xx = 1:nVia;
nobase = zeros(1,1);
m = 1;
if c>=0
vr = find(c~=0 ,1,'last');
rgv = inv(A(:,(nVia-n+1):nVia))*b;
if rgv >=0
x = zeros(1,vr);
minf = 0;
else
disp('不存在最优解!');
x = NaN;
minf = NaN;
return;
end
end
for i=1:nVia
if(isempty(find(baseVector == xx(i),1)))
nobase(m) = i;
m = m + 1;
else
end
end
bCon = 1;
M = 0;
B = A(:,baseVector);
invB = inv(B);
while bCon
nB = A(:,nobase);
ncb = c(nobase);
B = A(:,baseVector);
cb = c(baseVector);
xb = invB*b;
f = cb*xb;
w = cb*invB;
for i=1:length(nobase)
sigma(i) = w*nB(:,i)-ncb(i);
end
[maxs,ind] = max(sigma);
if maxs <= 0
minf = cb*xb;
vr = find(c~=0 ,1,'last');
for l=1:vr
for t=1:length(baseVector)
if(baseVector(t)==l)
x(l)=xb(t);
end
end
end
bCon = 0;
else
y = inv(B)*A(:,nobase(ind));
if y <= 0
disp('No solution!');
else
minb = inf;
chagB = 0;
for j=1:length(y)
if y(j)>0
bz = xb(j)/y(j);
if bz<minb
minb = bz;
chagB = j;
end
end
end
tmp = baseVector(chagB);
baseVector(chagB) = nobase(ind);
nobase(ind) = tmp;
for j=1:chagB-1
if y(j) ~=0
invB(j,:) = invB(j,:) - invB(chagB,:)*y(j)/y(chagB);
end
end
for j=chagB+1:length(y)
if y(j) ~=0
invB(j,:) = invB(j,:) - invB(chagB,:)*y(j)/y(chagB);
end
end
invB(chagB,:) =invB(chagB,:)/y(chagB);
end
end
M = M + 1;
if (M == 1000000)
disp('找不到最优解');
x = NaN;
minf = NaN;
return;
end
end
c=[31,-31.5,28.5,-29,27,-27.5,29.5,-29,25,-25.5,24,-25,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];
A=[ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
-1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
-1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0;
1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0, 0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0;
-1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0;
1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0;
-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0;
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0;
-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0;
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0;
-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1
];
b=[1200;300;1200;300;1200;300;1200;300;1200;300;1200;0];
[x,minf] = ModifSimpleMthd(A,c,b,[13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24]);