数学基础 - 矩阵的基本运算（Matrix Operations）

矩阵的基本运算(Matrix Operations)

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目录

• 矩阵的基本运算(Matrix Operations)
• 目录
  • 三个初等行（列）变换
  • 加法(Plus)
  • 乘法(Multiply)
    • 与数的乘法
    • 与矩阵的乘法
    • 哈达马乘积（Hadamard product）
  • 转置(Transpose)
  • 方阵的行列式(Determinant)
    • 克莱默法则(Cramer)
    • 雅可比行列式(Jacobi)
  • 逆(Inverse)
  • 秩(Rank)
  • 迹(Trace)

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三个初等行（列）变换

• 交换两行（列）的位置；
• 将常数k(k≠0)乘以某行(列)向量；
• 将某行（列）的元素乘以λ倍加到另一个行（列）上。

经过初等变换后，矩阵变化，但线性系统没变化

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加法(Plus)

两个行数、列数分别相等的矩阵（同型矩阵），加法运算才有意义。

[1234]+[1324]=[2558]

• 交换律：A+B=B+A
• 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)

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乘法(Multiply)

与数的乘法

将数与矩阵中的每一个元素分别相乘所得的矩阵。

[1−1326−5]×4=[4−412824−20]

• 结合律：(ab)A=a(bA)(a+b)A=aA+bA
• 分配律：a(A+B)=aA+aB

与矩阵的乘法

[123456]×[10582153]=[711817048]

设矩阵A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,则A与B的乘积C：

C=(cij)m×n

• 行数与左矩阵A相同，列数与右矩阵B相同。
• C的第i行第j列的元素
  
  cij=s∑k=1aikbkj(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n;)
• 不满足交换律

哈达马乘积（Hadamard product）

约束与加法相同，只是对应元素运算变为乘法。记作 ∘ 或 ∗ 或 ⊙。

注意不要混淆，与一些计算机语言中的星号不同，这里星号（∗）不是指乘法（×）。为了避免混淆，一般使用 ∘ 或 ⊙ 。

[1234]∘[1324]=[16616]

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转置(Transpose)

记作AT或A′

A=[1010−15271]A′=AT=[1502107−11]

• (AT)T=A
• (A+B)T=AT+BT
• (AB)T=BTAT
• (aA)T=aAT,a是常数

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方阵的行列式(Determinant)

记作det(A)或|A|

• 只有方阵才能定义行列式
• 对角阵与三角阵的行列式|In|=1
• |kAn|=kn|An|
• AB与BA不一定相等，但是|AB|=|BA|=|A||B|可能成立

克莱默法则(Cramer)

对线性方程组，如果有系数行列式D≠0，则方程组有唯一解

x1=D1D,⋯,xj=DjD,⋯,xn=DnD

其中 Dj 是把系数行列式 D 中的第j列的元素用方程组右边系数替换后的n阶行列式

雅可比行列式(Jacobi)

当n元变量做线性变换时，行列式就是其微元倍数，即dx=|A|dt

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逆(Inverse)

设A为n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得

AB=BA=In

则称A为可逆矩阵，B为A的逆阵，记作 B=A−1

• (A−1)−1=A
• (kA)−1=1kA−1(k≠0)
• A、B均是同阶可逆矩阵，则(AB)−1=B−1A−1
• (A−1)T=(AT)−1

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秩(Rank)

• 秩的算法：仅用初等行（列）变化把矩阵A化为阶梯矩阵，阶梯矩阵中不为0向量的行（列）数为矩阵A的秩。记作R(A)
• 阶梯矩阵：从上往下数，每一行从左到右第一个不为0的元素所在列严格递增。
• 行秩=列秩

A=[320503−236−12015−316−4−14]r1↔r4→[16−4−143−236−12015−332050]

r2−3r1r3−2r1r4−3r1→[16−4−140−20159−130−1297−110−16128−12]r4÷(−4)r2↔r4→[16−4−1404−3−230−1297−110−20159−13]

r3+3r2r4+5r2→[16−4−1404−3−230001−2000−12]r4+r3→[16−4−1404−3−230001−200000]

由于A的阶梯矩阵的前三行是非零向量，所以R(A)=3

• 零矩阵的秩是0
• 如果Am×n，则 0≤R(A)≤min{m,n}
• R(AB)≤min{R(A),R(B)}
• 如果A可逆，那么R(B)=R(AB)
• 如果A是n阶方阵，R(A)=n⟺|A|≠0⟺A可逆
• 如果A是n阶方阵，R(A)<n⟺|A|=0⟺A不可逆

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迹(Trace)

方阵A的对角线之和称为迹，记作tr(A)，即

tr(A)=n∑i=1aii

• tr(A)=∑ni=1λi，即tr(A)=其特征值之和
• tr(AB)=tr(BA)

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