机器学习数学基础：24.随机事件与概率

一、教程目标

本教程致力于帮助零基础或基础薄弱的学习者，全面掌握概率论与数理统计的基础公式，透彻理解核心概念，熟练学会应用解题技巧，最终能够轻松应对期末或考研考试。

二、适用人群

特别适合那些对概率论与数理统计知识了解甚少，甚至零基础的学习者，以及基础较为薄弱，希望快速提升相关知识水平和应试能力的人群。

三、基础概念与公式梳理

（一）事件关系与运算

1. 事件关系的符号化定义
   • 包含：$A\subset B$，这意味着如果事件$A$发生，那么事件$B$必然发生。例如，在从一副扑克牌中抽取一张牌的试验里，设事件$A$是“抽到红桃A”，事件$B$是“抽到红桃”。因为红桃A本身就是红桃中的一张牌，所以只要抽到红桃A，就一定抽到了红桃，即$A\subset B$。
   • 和事件（并）：$A\cup B$或$A+B$，表示事件$A$或者事件$B$至少有一个会发生。比如，同样在抽牌试验中，设事件$A$为“抽到的牌是红桃”，事件$B$为“抽到的牌是A”，那么$A\cup B$就表示抽到的牌要么是红桃，要么是A，或者既是红桃又是A（即红桃A）。
   • 积事件（交）：$A\cap B$或$AB$，它代表事件$A$和事件$B$同时发生。继续以抽牌为例，事件$A$是“抽到的牌是红桃”，事件$B$是“抽到的牌是A”，那么$A\cap B$就是“抽到的牌既是红桃又是A”，也就是抽到红桃A。
   • 差事件：$A-B$，等同于$A\cap \overline{B}$，表示事件$A$发生，同时事件$B$不发生。例如，在抽牌时，设事件$A$为“抽到的牌是红桃”，事件$B$为“抽到的牌是A”，那么$A-B$就是“抽到的牌是红桃但不是A”，即抽到除红桃A之外的其他红桃牌。
   • 互斥（互不相容）：$A\cap B=\varnothing$，这表明事件$A$和事件$B$不能同时发生。就像掷骰子，设事件$A$为“点数为1”，事件$B$为“点数为2”，骰子一次只能出现一个点数，不可能既是1又是2，所以$A$和$B$是互斥事件。
   • 对立事件：对于事件$A$，它的对立事件记为$\overline{A}$，满足$A\cup \overline{A}=\Omega$且$A\cap \overline{A}=\varnothing$。这里的$\Omega$表示样本空间，即所有可能结果的集合。以抛硬币为例，设事件$A$为“正面”，那么$\overline{A}$就是“反面”，抛一次硬币，结果不是正面就是反面，二者必居其一，且不会同时出现，所以“正面”和“反面”是对立事件。
2. 事件运算律（逻辑运算规则）
   • 交换律：$A\cup B=B\cup A$，$A\cap B=B\cap A$。这就好比在一个集合里，先把元素$A$和元素$B$进行“或”运算（并集），和先把元素$B$和元素$A$进行“或”运算，结果是一样的；对于“且”运算（交集）也是如此。例如，设事件$A$是“今天下雨”，事件$B$是“今天刮风”，那么“今天下雨或刮风”和“今天刮风或下雨”表达的是同一个意思，即$A\cup B=B\cup A$；“今天下雨且刮风”和“今天刮风且下雨”也是同一个意思，即$A\cap B=B\cap A$。
   • 结合律：$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$，$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$。这可以理解为在多个事件进行“或”运算或者“且”运算时，无论先对哪两个事件进行运算，最终的结果都是相同的。比如，设事件$A$是“明天温度高于30度”，事件$B$是“明天下雨”，事件$C$是“明天有雾”，那么“明天温度高于30度或（明天下雨或明天有雾）”和“（明天温度高于30度或明天下雨）或明天有雾”是等价的，即$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$；对于“且”运算，“明天温度高于30度且（明天下雨且明天有雾）”和“（明天温度高于30度且明天下雨）且明天有雾”也是等价的，即$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$。
   • 分配律
     -$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$：可以这样理解，假设事件$A$是“参加数学竞赛”，事件$B$是“参加物理竞赛”，事件$C$是“参加化学竞赛”，那么$A\cup (B\cap C)$表示“参加数学竞赛或者同时参加物理和化学竞赛”，而$(A\cup B)\cap (A\cup C)$表示“（参加数学竞赛或者参加物理竞赛）且（参加数学竞赛或者参加化学竞赛）”，这两种表述所涵盖的情况是一样的。
     -$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$：同样以竞赛为例，$A\cap (B\cup C)$表示“参加数学竞赛且（参加物理竞赛或者参加化学竞赛）”，$(A\cap B)\cup (A\cap C)$表示“（参加数学竞赛且参加物理竞赛）或者（参加数学竞赛且参加化学竞赛）”，它们所表达的事件情况也是一致的。
   • 德摩根律（对偶律）
     -$\overline{A\cup B}$