离散信号频谱分析

知识点
1 . 离散时间信号=离散序列+独立变量具有时间刻度意义
数字信号=离散时间信号+值域刻度离散

2 . 时间和频域
变换域：两个维度间信息量不丢失的一种变换
在时间域上的信号x所包含的信息量和频域上的信号y信息量等价，可以理解满足x->y同时满足y->x，中间的这个过程就是傅里叶变换和傅里叶反变换
在频域上抽样得到DFT变换
对频域进行扩展，得到z变换
对一个离散序列(不具有时间意义)做这样处理，它依然能够得到对应变换域的序列，二者包含相同的信息量，等价

3 . 线性时不变系统
信号可以分解成离散时间脉冲 δ[n] 表示：

x [n] = \sum k = - \infty \infty x [n] δ [n - k]

通过一个线性是不变系统

y [n] = T {\sum k = - \infty \infty x [n] δ [n - k]} = \sum k = - \infty \infty x [n] T {δ [n - k]}

令

hk[n] 是系统对发生在

n=k 的单位样本序列

δ[n−k] 的相应

y [n] = \sum k = - \infty \infty x [n] h k [n]

由于线性时不变性，如果

h[n] 是系统对

δ[n] 的响应，那么系统对

δ[n−k] 的响应应该是

h[n−k] ，上面式子可以变为：

y [n] = \sum k = - \infty \infty x [n] h [n - k] = x [n] * h [n]

∗ 表示卷积
如果输入信号

x[n]=ejwn(w看做常量，n是自变量)，那么输出为

y [n] = x [n] * h [n] = h [n] * x [n] = \sum k = - \infty \infty h [k] x [n - k] = \sum k = - \infty \infty h [k] e j w [n - k] = e j w n \sum k = - \infty \infty h [k] e - j w k

若定义

H (e j w) = \sum k = - \infty \infty h [k] e - j w k

那么上面式子可以变为

y (n) = H (e j w) e j w n

如何理解这个式子
ejwn 是一个单频指数信号，频率为w
H(ejw) 是一个关于变量 w 的函数，对每个输入的w0都会有一个特定的输出，一般为复数
这个单频信号x[n]通过系统h[n]，可以看做系统对信号有一个幅值修正和相位偏移
特征值 H(ejw) 称为系统的频率响应， h[n] 为系统的单位脉冲响应
如果一个信号x[n]可以分解为多个这样单频信号的叠加和
$x [n] = \sum k a k e j w k n$
根据系统的线性 $y [n] = (\sum k a k e j w k n) * h [n] = \sum k a k e j w k n * h [n] = \sum k a k H (e j w k) e j w k n$

DFT离散傅里叶变换

上面这部分从LTI(线性时不变)系统的概念推导出出了离散信号的傅里叶变换

X (e j w) = \sum n = - \infty \infty x [n] e - j w n

傅里叶反变换

x [n] = 1 2 π \int π - π X (e j w) e j w n d w

傅里叶变换定理：

序列	傅里叶变换
x[n]	X(ejw)
y[n]	Y(ejw)
x[n−nd]	ejwndX(ejw)
ejw0nx[n]	X(ej(w−w0))
x(−n)	X(e−jw)
nx[n]	jdX(ejw)dw
ax[n]+by[n]	aX(ejw)+bY(ejw)
x[n]∗y[n]	X(ejw)Y(ejw)
x[n]y[n]	12π∫π−πX(ejθ)Y(ej(w−θ))dθ
∑∞n=−∞\|x[n]\|2=12π∫π−π\|X(ejw)\|2dθ	帕斯瓦尔定理，两个域的能量保持不变

任意实信号的傅里叶变换：

X(ejw)=X∗(e−jw) 共轭对称
XR(ejw)=XR(e−jw) 实部为偶函数
XI(ejw)=−XI(e−jw) 虚部为奇函数
|X(ejw)|=|X(ee−jw)| 幅度为偶函数
-

matlab相关函数功能分析

窗函数
矩形窗rectwin
三角窗triangle
海明窗hamming
汉宁窗hanning(第一旁瓣性能差，但是其余旁瓣下降更好)
凯瑟窗kaiser(n, β ), β 越大，波形越陡峭，旁瓣衰减越好，但是过渡带变宽
切比雪夫窗chebwin 等波纹窗
布莱克曼窗blackman
tukeywin
talorwin

窗函数工具 wintool
冲激响应时域频域分析wvtool，频域分析freqz和fvtool

滤波器设计工具fdatool

创建原型滤波器函数
fir1 窗函数对理想FIR的加窗截取，窗函数影响性能
fir2 基于频率采样的FIR设计，由H(K) ifft得到h(n)得到H(z)在得到任意长的h(n)
firpm 雷米兹Remez交替算法逼近切比雪夫等波纹的Parks-McClellan实现
firpmord 同上，得到的可以作为firpm的参数
firpr2chfb 半带滤波器的四个滤波器系数，两个低，两个高
rcosfir

DSP System ToolBox
fdesign结构体，提供一个滤波器类型接口，设计一个滤波器参数结构体，包括阶数通带阻带
design对fdesign得到的结构体进行滤波器系数设计，需要选择优化类型

fircls：最小均方
equiripple：等波纹
butter
cheby1
cheby2
ifir
multistage

常用信号处理
upsample

filter
pca

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