反正弦函数y = arcsinx的图象和性质
例1 求下列反正弦函数的值
arcsin
(1 )
2
√2
解:
∵
sin
π
4
=
2
√2
π
4
∈
[
-
π
2
,
π
2
]
∴
arcsin
2
√2
=
π
4
arcsin
(2 )
(
-
2
√3
)
解:
∵
sin
(
-
π
3
)
=
-
2
√3
-
π
3
∈
[
-
π
2
,
π
2
]
∴
arcsin
(
-
2
√3
)
=
-
π
3
1
例1 求下列反正弦函数的值
arcsin
(3 )
(
-
2
)
解:
∵
sin
(
-
π
6
)
=
-
2
1
-
π
6
∈
[
-
π
2
,
π
2
]
∴
arcsin
(
-
2
1
)
=
-
π
6
1
arcsin
(4 )
(
-
)
解:
∵
sin
(
-
π
2
)
=
-
1
-
π
2
∈
[
-
π
2
,
π
2
]
∴
arcsin
(
-
1
)
=
-
π
2
1
例1 求下列反正弦函数的值
arcsin
(5)
解:
∵
sin
π
2
=
1
π
2
∈
[
-
π
2
,
π
2
]
∴
arcsin
1
=
π
2
arcsin
(6 )
0
解:
∵
sin
0
=
0,
0
∈
[
-
π
2
,
π
2
]
∴
arcsin
0
=
0
例2 用反正弦函数值表示下列各式中的x:
(1)
sinx
=
5
√3
x
∈
[
-
π
2
,
π
2
]
解:
∵
x
∈
[
-
π
2
,
π
2
],
sinx
=
5
√3
∴
x
=
arcsin
5
√3
(2)
sinx
=
-
3
1
x
∈
[
-
π
2
,
π
2
]
解:
∵
x
∈
[
-
π
2
,
π
2
],
sinx
=
-
3
1
∴
x
=
arcsin
(
-
3
1
)
=
-
arcsin
3
1
例2 用反正弦函数值表示下列各式中的x:
(3)
sinx
=
3
√3
x
∈
[
0
,
π
]
解:
若
x
∈
[
0
,
π
2
],
sinx
=
3
√3
∴
x
=
arcsin
3
√3
若
x
∈
[
π
2
,
π
],
则
π
-
x
∈
[
0
,
π
2
],
3
√3
=
sinx
=
sin
(
π
-
x
)
π
-
x
=
arcsin
3
√3
x
=
π
-
arcsin
3
√3
综上：
x
=
arcsin
3
√3
或
x
=
π
-
arcsin
3
√3
π
例3 化简下列各式：
(1)
sin
(
arcsin
1
4
),
解:
∵
1
4
∈
[
-1
,
1
]，
∴
sin
(
arcsin
1
4
)
=
1
4
(2)
sin
(
arcsin
3
4
),
解:
∵
π
3
4
∈
[
-1
,
1
]，
∴
π
sin
(
arcsin
3
4
)
无意义