【工程常用】三维空间中两条直线近似交点求解

注：关于以上方程组的求解，可参考下面两种方式。
方法一：当参数$v_x^a$,$v_y^a$,$v_z^a$,$v_x^b$,$v_y^b$,$v_z^b$,$n_x$,$n_y$,$n_z$均非零时，将方程组化为如下形式
$$\{\begin{array}{ll}\frac{1}{v_x^a}{a}_x-\frac{1}{v_y^a}{a}_y& =\frac{x_a}{v_x^a}-\frac{y_a}{v_y^a}\\ \frac{1}{v_y^a}{a}_y-\frac{1}{v_z^a}{a}_z& =\frac{y_a}{v_y^a}-\frac{z_a}{v_z^a}\\ \frac{1}{v_x^b}{b}_x-\frac{1}{v_y^b}{b}_y& =\frac{x_b}{v_x^b}-\frac{y_b}{v_y^b}\\ \frac{1}{v_y^b}{b}_y-\frac{1}{v_z^b}{b}_z& =\frac{y_b}{v_y^b}-\frac{z_b}{v_z^b}\\ \frac{1}{n_x}{a}_x-\frac{1}{n_y}{a}_y-\frac{1}{n_x}{b}_x+\frac{1}{n_y}{b}_y& =0\\ \frac{1}{n_y}{a}_y-\frac{1}{n_z}{a}_z-\frac{1}{n_y}{b}_y+\frac{1}{n_z}{b}_z& =0\end{array}$$
将以上方程组化为矩阵形式
$$\left[\begin{array}{cccccc}\frac{1}{v_x^a}& -\frac{1}{v_y^a}& 0& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{v_y^a}& -\frac{1}{v_z^a}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{v_x^b}& -\frac{1}{v_y^b}& 0\\ 0& 0& 0& 0& \frac{1}{v_y^b}& -\frac{1}{v_z^b}\\ \frac{1}{n_x}& -\frac{1}{n_y}& 0& -\frac{1}{n_x}& \frac{1}{n_y}& 0\\ 0& \frac{1}{n_y}& -\frac{1}{n_z}& 0& -\frac{1}{n_y}& \frac{1}{n_z}\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\\ b_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{x_a}{v_x^a}-\frac{y_a}{v_y^a}\\ \frac{y_a}{v_y^a}-\frac{z_a}{v_z^a}\\ \frac{x_b}{v_x^b}-\frac{y_b}{v_y^b}\\ \frac{y_b}{v_y^b}-\frac{z_b}{v_z^b}\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$
可得
$$\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\\ b_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cccccc}\frac{1}{v_x^a}& -\frac{1}{v_y^a}& 0& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{v_y^a}& -\frac{1}{v_z^a}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{v_x^b}& -\frac{1}{v_y^b}& 0\\ 0& 0& 0& 0& \frac{1}{v_y^b}& -\frac{1}{v_z^b}\\ \frac{1}{n_x}& -\frac{1}{n_y}& 0& -\frac{1}{n_x}& \frac{1}{n_y}& 0\\ 0& \frac{1}{n_y}& -\frac{1}{n_z}& 0& -\frac{1}{n_y}& \frac{1}{n_z}\end{array}\right]}^{-1}\ast \left[\begin{array}{c}\frac{x_a}{v_x^a}-\frac{y_a}{v_y^a}\\ \frac{y_a}{v_y^a}-\frac{z_a}{v_z^a}\\ \frac{x_b}{v_x^b}-\frac{y_b}{v_y^b}\\ \frac{y_b}{v_y^b}-\frac{z_b}{v_z^b}\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$
当$v_x^a$,$v_y^a$,$v_z^a$,$v_x^b$,$v_y^b$,$v_z^b$,$n_x$,$n_y$,$n_z$中存在值为零的参数时，可直接将式(1)-(3)中对应项分子部分赋值零，得到新的等式，联立其余等式，即可得到新得方程组，求解即可。如，当$v_x^a=0$时，方程组可以化为如下形式
$$\{\begin{array}{ll}{a}_x& =x_a\\ \frac{1}{v_y^a}{a}_y-\frac{1}{v_z^a}{a}_z& =\frac{y_a}{v_y^a}-\frac{z_a}{v_z^a}\\ \frac{1}{v_x^b}{b}_x-\frac{1}{v_y^b}{b}_y& =\frac{x_b}{v_x^b}-\frac{y_b}{v_y^b}\\ \frac{1}{v_y^b}{b}_y-\frac{1}{v_z^b}{b}_z& =\frac{y_b}{v_y^b}-\frac{z_b}{v_z^b}\\ \frac{1}{n_x}{a}_x-\frac{1}{n_y}{a}_y-\frac{1}{n_x}{b}_x+\frac{1}{n_y}{b}_y& =0\\ \frac{1}{n_y}{a}_y-\frac{1}{n_z}{a}_z-\frac{1}{n_y}{b}_y+\frac{1}{n_z}{b}_z& =0\end{array}$$
方法二：可使用 MATLAB 中的solve函数对以上多项式进行求解，分别得到交点A，B的坐标关于直线 $l_a$，$l_b$参数的表达式。具体可参考后续 程序示例 章节。